数论一题

算术研究

对于任意一个大于1的整数m，m与2m之间至少有一个素数？

castelu

数学币再悬赏高点

算术研究

你会证明吗？

670330219

如果哥德巴赫猜想是成立的。那么很容易证明本命题：

一任意偶数为 2M。据哥德巴赫猜想 2M = p + q （ p 、q 为素数 ）。因为 p 、q 不相等，所以必有一个大于 n ，且 p 、q 必然都小于 2M 。可见本命题是哥德巴赫猜想的推论。

还可以证明本命题不止是推论。而且与哥德巴赫猜想是等价的。这只要证明上面的逆定理：“如果n-2n之间可能没有一个素数，则哥德巴赫猜想不成立。”。这是显而易见的。两个小于 M的素数的和不可能等于 2M 。

所以说如果谁有本事证明本命题。就是解决了哥德巴赫猜想！换句话说，也就是不必花费时间精力去想了 ：）

zgg___

To 670330219:
这个命题是已经证明的了（证明过程也不是特别难），呵呵，所以，它和哥猜是不等价的。

zhangyuong

这个是Bertrand Conjecture，后来被Chebyshev证明了
我不会证，但是书上有证明这2个可以用到的定理
1.Let n be a positive integer greater than 1 and let p1,p2,...,pt be the primes not exceeding n.Show that p1p2...pn<4^n
2.Let n be a positive integer greater than 3 and let p be a prime such that 2n/3<p<=n
Show that p does not divde the binomial coefficient C2n n

高斯门徒

在数论里，函数pai(x)代表不大于x的素数的个数，对这个函数有一个渐近形式，并且有一个范围c2x/lnx<=pai(x)<=c1x/lnx,c1和c2是常数，并且pai(2x)>=c2(2x)/ln2x>c1x/lnx>=pai(x),所以x和2x有素数。

元蛟

深奥呀

sunzhibin011

嗯啊 啊

秘密时空

要用欧拉函数和素筛法

秘密时空

4# 670330219
这个只是必要条件,不是充分条件

秘密时空

[img]file:///C:/DOCUME~1/ADMINI~1/LOCALS~1/Temp/IHBB9G$K%4[}~D8M8F$F95V.jpg[/img]

秘密时空

m=1,m=2,成立.
m>2时,取 所有素数p1,p2,…pk≦m
m到2m之间的合数个数,用容斥原理,得到:
Q= - +…(-1)k
那么素数个数为:
W= m-Q=m(1- )(1- )…(1- )+1k≦m

mathsnail

印象里，厄多斯的某篇论文就是这个。。。