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[已解决] 蓝以中下册 一元多项式环 165页 习题一28 解答

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发表于 2016-7-27 23:46:10 | 显示全部楼层 |阅读模式
习题一28:
  证明:数域$K$内次数$>0$的首一多项式$f(x)$是某一不可约多项式的方幂的充分必要条件是,对数域$K$内任意的多项式$g(x),h(x)$,由
$$f(x)|g(x)h(x)$$
  可以推出
$$f(x)|g(x)$$
  或者对某一正整数$m$
$$f(x)|h^m(x)$$



解:
  必要性
  设
$$f(x)=g(x)h(x)$$
  由《蓝以中下册 一元多项式环 165页 习题一27 解答》的必要性可知
  对任意多项式$h(x)$而言,有两种可能
(1)
$$(f(x),h(x))=1,此时有f(x)|g(x)$$
(2)
$$f(x)|h^m(x),m为某一正整数$$
  充分性
  假设$f(x)$不是一个不可约多项式的方幂,即
$$f(x)=ap_1^{\lambda_1}(x)p_2^{\lambda_2}(x) \cdots p_n^{\lambda_n}(x)$$
  此时有
$$f(x)|g(x)h(x)$$
  但
$$f(x) \not| g(x)$$
  且对任意正整数$m$
$$f(x) \not| h^m(x)$$
  这与已知条件矛盾,故$f(x)$是某一不可约多项式的方幂。
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