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[已解决] 裴礼文 级数 478页 练习5.1.21 解答

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发表于 2016-4-22 21:35:39 | 显示全部楼层 |阅读模式
练习5.1.21:
  设数$a>0$,$\left\{p_n\right\}$是一个数列,并且$p_n>0$,$p_{n+1} \ge p_n$,证明:
  级数
$$\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{p_n-p_{n-1}}{p_np_{n-1}^a}$$
  收敛。



解:
  考虑以下两种情况:
(1)$a>1$
  此时有$p_{n-1}^a \ge p_1^{a-1}p_{n-1}$,从而
$$\begin{eqnarray*}
\frac{p_n-p_{n-1}}{p_np_{n-1}^a} &\le& \frac{p_n-p_{n-1}}{p_1^{a-1}p_np_{n-1}}\\
&=&\frac{1}{p_1^{a-1}}\left(\frac{1}{p_{n-1}}-\frac{1}{p_n}\right)\\
\end{eqnarray*}$$
  故级数
$$\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{p_n-p_{n-1}}{p_np_{n-1}^a}$$
  收敛。
(2)$0<a \le 1$
  根据$Lagrange$中值定理,此时有
$$\begin{eqnarray*}
\frac{1}{p_{n-1}^a}-\frac{1}{p_n^a}&=&\frac{p_n^a-p_{n-1}^a}{p_n^ap_{n-1}^a}\\
&=&a\frac{(p_{n-1}+\theta_n(p_n-p_{n-1})^{a-1})(p_n-p_{n-1})}{p_n^ap_{n-1}^a}\\
&\ge&a\frac{p_n-p_{n-1}}{p_np_{n-1}^a}
\end{eqnarray*}$$
  从而
$$\frac{p_n-p_{n-1}}{p_np_{n-1}^a} \le \frac{1}{a}\left(\frac{1}{p_{n-1}^a}-\frac{1}{p_n^a}\right)$$
  故级数
$$\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{p_n-p_{n-1}}{p_np_{n-1}^a}$$
  收敛。
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