圆锥曲线

castelu

假设存在$m$、$p$的值使$C_2$的焦点恰在直线$AB$上，
设直线$AB$的方程为$y=k(x-1)$，
由$\left\{ \begin{array}{l}
y=k(x-1)\\
\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1
\end{array} \right.$消去$y$得$(3+4k^2)x^2-8k^2x+4k^2-12=0$①，
设$A$、$B$的坐标分别为$(x_1,y_1)$，$(x_2,y_2)$，
则$x_1$，$x_2$是方程①的两根，$x_1+x_2=\frac{8k^2}{3+4k^2}$，
由$\left\{ \begin{array}{l}
(y-m)^2=2px\\
y=k(x-1)
\end{array} \right.$消去$y$得$(kx-k-m)^2=2px$②，
因为$C_2$的焦点在直线$y=k(x-1)$上，
所以$m=k(\frac{p}{2}-1)$，即$m+k=\frac{kp}{2}$
代入②有$(kx-\frac{kp}{2})^2=2px$，即$k^2x^2-p(k^2+2)x+\frac{k^2p^2}{4}=0$，③
由于$x_1$，$x_2$也是方程③的两根，
所以$x_1+x_2=\frac{p(k^2+2)}{k^2}$，
从而$\frac{8k^2}{3+4k^2}=\frac{p(k^2+2)}{k^2}$，解得$p=\frac{8k^2}{(4k^2+3)(k^2+2)}$，④
又$AB$过$C_1$、$C_2$的焦点，
所以$|AB|=(x_1+\frac{p}{2})+(x_2+\frac{p}{2})=x_1+x_2+p=(2-\frac{1}{2}x_1)+(2-\frac{1}{2}x_2)$，
则$p=4-\frac{3}{2}(x_1+x_2)=4-\frac{12k^2}{4k^2+3}=\frac{4k^2+12}{4k^2+3}$，⑤
由④、⑤式得$\frac{8k^2}{(4k^2+3)(k^2+2)}=\frac{4k^2+12}{4k^2+3}$，即$k^4-5k-6=0$，
解得$k^2=6$，于是$k=\pm \sqrt 6$，$p=\frac{4}{3}$，
因为$C_2$的焦点在直线$y=\pm \sqrt 6(x-1)$上，
所以$m=\pm \sqrt 6 (\frac{2}{3}-1)$，
∴$m=\frac{\sqrt 6}{3}$或$m=-\frac{\sqrt 6}{3}$；
由上知，满足条件的$m$、$p$存在，且$m=\frac{\sqrt 6}{3}$或$m=-\frac{\sqrt 6}{3}$，$p=\frac{4}{3}$。