数列

castelu

证明：设$A$是每项均为非负整数的数列$a_1$，$a_2$，$\cdots$，$a_n$。
当存在$1 \le i<j \le n$，使得$a_i \le a_j$时，交换数列$A$的第$i$项与第$j$项得到数列$B$，
则$S(B)-S(A)=2(ia_j+ja_i-ia_i-ja_j)=2(i-j)(a_j-a_i) \le 0$。
当存在$1 \le m<n$，使得$a_{m+1}=a_{m+2}=a_n=0$时，若记数列$a_1$，$a_2$，$\cdots$，$a_m$为$C$，
则$S(C)=S(A)$。
所以$S(T_2(A)) \le S(A)$。
从而对于任意给定的数列$A_0$，由$A_{k+1}=T_2(T_1(A_k))$（$k=0,1,2,\cdots$）
可知$S(A_{k+1}) \le S(T_1(A_k))$。
又由$S(T_1(A_k))=S(A_k)$，所以$S(A_{k+1}) \le S(A_k)$。
即对于$k \in N$，要么有$S(A_{k+1})=S(A_k)$，要么有$S(A_{k+1}) \le S(A_k)-1$。
因为$S(A_k)$是大于$2$的整数，所以经过有限步后，必有$S(A_k)=S(A_{k+1})=S(A_{k+2})=0$。
即存在正整数$K$，当$k \ge K$时，$S(A_{k+1})=S(A)$