【域名四周年】7.16纪念帖&答题任务

zhangyuong

求题目

zhangyuong

(1)不妨先给这些数排序：$a_{13}<a_{12}<\cdots<a_1$
首先设这些相等的数字和为$b$，那么由$a_1+a_2+\cdots+a_{13}=996$，等式两边取对$9$的模有：
$13b \equiv 6(mod 9)$，但是$b$对9的模只有数字$1$到$8$，经试验可知，$b \equiv 6(mod 9)$
因此数字和都是$9k+6$的形式。
(2)以$s(a)$表示$a$的数字和,有$a_i-a_{j \equiv s{a_i}}-s(a_j)\equiv 0(mod 9)$，因而他们之间的差是$9$的倍数，从而$a_{n+1}-a_n \ge 9$，所以有一连串不等式：
$a_1 \ge a_2+9 \ge a_3+18 \ge \cdots \ge a_13+9 \times 12$
所以由$996=a_1+a_2+\cdots+a_{13} \ge 13a_13+9(1+2+\cdots+12)$可得：
$a_{13} \le \frac{996-9(1+2+\cdots+12)}{13}$，从而$a_{13} \le 22$，但由$s(a_{13})\equiv 6(mod 9)$可知
$a_{13}=6$或$a_{13}=15$
但是无论哪种均有$s(a_{13})=6$，因此$s(a_i)=6(i=1,2,\cdots,13)$
(3)因而只需要讨论数字和为$6$的数即可：
由于最小的数字和为$6$的前$13$个数有：
$6,15,24,33,42,51,60,105,114,123,132,141,150$
所以$996=a_{13}+a_{12}+\cdots+a_1 \ge 6+15+24+33+42+51+60+105+114+123+132+141+150=996$
所以这个不等式其实是一个等式
因而有唯一解：
$(a_1,a_2,\cdots,a_{13})=(150,141,\cdots,6)$