试题

zhangyuong

1.设$F$是锐角$\Delta ABC$的费马点，记$l = FA + FB + FC$，其中$a$，$b$，$c$分别是三角形的三条边长。证明：

$l^2 \le ab + bc + ca$

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19.设$\Phi_i$为从三角形的边$i$旋转边上对应中线所成的有向角，那么

$\sum \cos \Phi =0$

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18.实数$x$满足$x^3=x+1$，那么有

$x^{3n}=a_n x + b_n + \frac{c_n}{x}$

且

$
\left\{ \begin{array}{l}
a_{n+1}=a_n + b_n\\
b_{n+1}=a_n + b_n + c_n\\
c_{n+1}= a_n +c_n
\end{array} \right.
$

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17.已知数列$\left\{a_n\right\}$是正项等差数列，且满足公差$d>0$，求证：

$\frac{a_1}{a_2} \cdot \frac{a_3}{a_4} \cdots \frac{a_{2n-1}}{a_{2n}} < \sqrt {\frac{a_1}{a_{2n+1}}}$

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16.$\alpha, \beta \in R$，且满足$\cos \alpha \ne \cos \beta$，那么对所有的$n \ge 2$的自然数，都有

$|\frac{\cos n\beta \cos \alpha - \cos n\alpha \cos \beta}{\cos \beta - \cos \alpha}| < n^2 -1$

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15.$\Delta DEF$是由$\Delta ABC$的外角平分线所组成的$\Delta$，且$\Delta BCD$,$\Delta CAE$,$\Delta ABF$内切圆与$\Delta ABC$各边分别切于$X$,$Y$,$Z$.求证：$DX$,$EY$,$FZ$三线共点.

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14.证明以下组合恒等式：

$\sum\limits_{k=0}^{n}C_n^k x^k (1-x)^{n-k} = 1$

以及

$\sum\limits_{k=0}^{n}(k - nx)^2 C_n^k x^k (1-x)^{n-k} = nx(1-x)$

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13.若函数$f(x)$满足$f(x) = f(\pi - x)$，求证

$\sum\limits_{k=0}^{n-1} f(\frac{2k+1}{4n}\pi) = \sum\limits_{k=0}^{n-1} f(\frac{4k+1}{4n}\pi)$

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12.任意给定三空间向量$\vec a$, $\vec b$, $\vec c$，求证：

$\vec a \times (\vec b \times \vec c) = \vec b(\vec a \cdot \vec c) - \vec c(\vec a \cdot \vec b)$

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11.设$z$,$z'$为任意的两复数，记$u=\sqrt{zz'}$，求证：

$|z| + |z'| = |\frac{z+z'}{2} - u| + |\frac{z+z'}{2} + u|$

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10. 求以下无限连分式的值：

$\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+ \cdots }}}}$

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9.求证：
乘积

$(a^2 + b^2 +c^2 - bc - ca -ab)(x^2 +y^2 + z^2 - yz - xy -zx)$

也具有如下形式:

$A^2 + B^2 + C^2 - BC - CA - AB$

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8.求所有由正整数组成的数列$\left\{a_n\right\}$，并满足：
(1)$a_n$有上界；即对任意$n \in N^+$,都有$a_n \le M$
(2)对任意$n \in N^+$,均有$a_{n+2} = \frac{a_{n+1} + a_n}{(a_n , a_{n+1})}$

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7.已知正方形$ABCD$，延长$BC$，$DC$分别至$M$，$N$，使$S_{\Delta CMN} = S_{正方形ABCD}$，试确定$\angle MAN$的度数

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6.在正方形$ABCD$的边$BC$，$CD$上各有一点$M$，$N$，满足$\angle MAN = 45^{\circ}$，求证：

$\frac{AM}{AN} = \sqrt {\frac{AB+BM}{AD+DN}}$