求教三道数学难题

castelu

抛砖引玉，解第（1）题的第3个数列：
此题有问题，
首先，对于$c_1$的范围需要界定，一般认为$c_1>0$，
其次，递推关系式应为
$c_n=1+\frac{c_{n-1}}{1+c_{n-1}}$，
由此，
$c_1>0 => c_2>0 => \cdots => c_n>0$，
于是，$1<c_n<2 (n=2,3,\cdots)$，
$c_n-c_{n-1}=\frac{c_{n-1}-c_{n-2}}{(1+c_{n-1})(1+c_{n-2})}$，
$c_n-c_{n-1}$与$c_{n-1}-c_{n-2}$同号，
于是${c_n}$是单调有界的数列，${c_n}$收敛。
设$\lim\limits_{n \rightarrow \infty}c_n=c$，对递推关系式两边取极限，得到：
$c=1+\frac{c}{c+1}$，
解得：$c=\frac{1+-\sqrt 5}{2}$
结合$c_n$的范围，舍去$c=\frac{1-\sqrt 5}{2}$，
得到：$\lim\limits_{n \rightarrow \infty}c_n=\frac{1+\sqrt 5}{2}$。