2009联赛一试那道不等式

zhangyuong · 发表于 2010-5-2 14:42:32

这就是鼎鼎大名的一试那道不等式
让我非常纠结。。。
当年场上不知道怎么完全失去水平，没有一题能够做出来
今天无意中看见类似字眼
让我重新面对这一年前的阴影
如果我一年前有我今天的冷静
恐怕要好做很多

现在我就来简单地说说这个题目的解法

zhangyuong · 发表于 2010-5-2 15:12:51

显然最小值是没有什么难度的了

我就直接来说最让人注目的最大值

其实观察这个不等式的形式，第一感觉就是Cauchy，因此
我们的目标就是利用Cauchy求最小值
但是有个很大的问题，最小值要满足两个条件：
(i)不等号方向是>=
(ii)等号要确实取到

这样，问题的困难之处便在于，如何选取Cauchy不等式中的系数，使得等号能够取到呢？
在这个情况下，我们的数学思维就是——计算出系数

因此写出了Cauchy不等式，为了计算简便，我只选取了2个元
其中要满足

只有这样，才能够保证左边都是常数，从而得到最值
但是要解出三个元不容易
有两个方法
第一个就是硬解系数

这样得到一个四次方程
从正常的角度来说，我们做这题的方法就是这样
但在联赛那么紧的时间之内，谁也很难有把握把这个四次方程解出来
所以我们需要另外寻找方法
考虑到开始的性质，这个系数应该是比较整齐的
取等号时x的值应该也是比较漂亮的
再次回到最开始等号条件：

考虑将最左边和最右边的条件放一起：

我们现在考虑定义域，看能不能给出一些约束：
x-13>=0,x>=0即0<=x<=13，这个定义域两头都是整数
我们很合理地会想到，这个取等号时候x的值，也应该是整数
所以，这个时候就转化成了数论问题了
右边的式子和左边的式子比较
左边是3的幂，因此右边必是3的幂！
有两种突破，第1：右边被x整除，所以x=3或9
代入检验可以得到x=9
第2：右边被α^2-1整除，左边也是
因此α^2-1=3或9或27，代入检验得到α=2
由此就得到了我们需要的系数

castelu · 发表于 2010-5-2 15:14:10

感谢您的分享

PaulErdos · 发表于 2010-5-2 15:38:04

这题我也看过，当时我还不会cauchy不等式（。。忽略）
不过我后来看的时候就知道，其实对于在考场而言，我们完全可以先猜测答案，等号在x=9时取到
那么我们不就证明了存在x使得这个不等式成立了吗，不必要严格地解方程。
当然了，zy的方法非常好。顶

秘密时空 · 发表于 2010-5-2 17:48:52

学习了

秘密时空 · 发表于 2010-5-2 18:01:11

X取9时成立，可以在草稿纸上用求导来算

PaulErdos · 发表于 2010-5-2 18:28:53

呵呵，我不会用cauchy不等式的时候就是求导的

jyc06 · 发表于 2010-5-2 19:32:04

...当时一个学长得到那个4次方程,直接找出了根

y_mT · 发表于 2010-5-3 18:51:21

厉害...

jyc06 · 发表于 2010-7-25 23:06:21

这题漏题了

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