作图

战巡

平面上给定一个圆,并给出它的圆心,只用直尺,将这个圆5等分

提示:要解决这个问题,必须先解决一些基础的问题——给定一个圆和它的圆心,只用直尺,作已知直线的垂线,作线段的中点,角的平分线等等,首先证明这些东西的做法,然后这些做法就可以直接当一个步骤来使用

战巡

汗........
这个居然沉了这么久...
捞起来~~给新来的同志们看看~~

再过一段时间没人做我发答案算了..........

战巡

你们两个别这么无聊好不好.......

战巡

作直径AB，再作直径CD垂直于AB,取AO中点E，链接CE，作角CEB的平分线l，
作F与C关于l对称，连接CF ,作OG平行于CF,则角OGA=72度
证明略
元蛟 发表于 2009-7-13 15:34

同志，注意题目的要求——你只有直尺，没有圆规，你要作垂直、作中点这些的在这个时候不是这么容易能做出来的，在此之前你必须说明在没有圆规的情况下如何作出垂直、中点、角平分线、平行线这些的

战巡

想知道这直尺有没有刻度，或者长度？
appletree444 发表于 2009-8-23 18:56

没有......
标准的尺规作图用直尺，没有刻度，长度未知

战巡

囧.........
都这么长时间了......各位还是一点头绪都没有？？

我不是早就给了提示了么.......

战巡

(1)过圆上一点做已知直径的垂线
连AP并延长AP在AP延长线上随便取一点H连HB交圆于F
连AF和BP相交于M  连HM并延长HM交AB于N
连FN并延长FN交圆于E  连PE  即PE垂直于AB
1071
(2)取弦的中点
连AO和BO并延长分别交圆 ...
474394820 发表于 2009-8-25 09:09

呵呵，不错
既如此，我先公布一部分基础作图的方法

1、过直径外一点P(P不在圆上)作直径AB的垂线
作法：如图

1、作直线PA、PB，与圆O交于C、D
2、作直线AD、BC交于H
3、作直线PH
直线PH即为所作
证明：易证H为△PAB垂心

2、作给定弦AB的中点
作法：如图

1、作直线AO、BO，交圆O于C、D，连接CD
2、任找一点Q，连接AQ、BQ交CD于E、F
3、连接AF、BE交于R
4、作直线QR交AB于M
点M即为所作
证明：易证CD平行AB，然后对△QAB用塞瓦定理即可

下面的作图中为了方便，直接使用上面的作法作为步骤
3、过一点P作已知弦AB的平行线
作法：如图

1、连接BP、AP，并在AP延长线上任取一点C
2、作弦AB中点M，连接CM交BP于D，连接BC
3、作直线AD交BC于E，作直线PE
直线PE即为所作
证明：对△CAB用塞瓦定理即可

由2、3两个作法可见，有中点便可作平行，有平行便可作中点

4、过给定点P(P在直径AB所在直线上或P在圆O上)作直径AB的垂线
由于此时无法用1中的办法作垂直，只好另辟蹊径
作法：如图

1、任找一点Q(Q不在AB上，也不在圆O上)
2、过Q作AB垂线QM
3、过P作QM平行线l  (作平行时需要中点，而直线QM上的弦中点就是M，直接用即可)
直线l即为所作
P在圆上时类似
这个就不用证明了吧.....
这以后，我们就可以过任一点作给定直径的垂线了

5、过一点P作已知弦AB的垂线
作法：
1、过O作AB平行线CD，即CD为直径
2、过P作CD垂线l
直线l即为所作
这个太简单了.....图都费事给了....

6、过一点P作任意一条直线l的平行线
由3可知，要作一条直线的平行线，必然需要有这条直线上一个线段并已知其中点
为此，这里就要想办法在l上构造一个线段并搞出它的中点
作法：如图

1、任意作直径AB(别太特殊，别和l垂直就好)
2、过A、B、O作AB的垂线AC、BD、OE
这就出现了线段CD，而且E为CD中点
3、利用线段CD和其中点E，可过P作l1平行l
直线l1即为所作
证明就不用了吧......
有了这个东西，就可以实现直线、线段的平移了

7、作已知角∠AOB的角平分线
作法：如图

1、延长AO交圆于C，连接BC
2、过O作BC平行线OD
直线OD即为所作
证明：易证∠C=∠AOB/2，因此∠AOD=∠C=∠AOB/2，OD平分∠AOB
如果一个角的顶点不在圆心怎么办？——用6的方法平移到圆心，作出角平分线后再平移回去即可

先公布这么多~~~
后面还有作圆内接正三角形、n等分圆内一线段、过圆外一点作圆切线等，最后才是作圆内接正五边形

战巡

我觉得我的方法就是把几何给坐标化，但是这种方法不适用于n等分圆周的问题（过程太多了）。希望看到战巡解决问题的方法。也希望有人能帮我解决“看战巡作图一题的感想”中关于做切线问题的证明，呵呵。
appletree444 发表于 2009-8-25 20:45

呵呵，好~
楼上两位肯用心去思考这个问题，不负我出题之本意
即以做出，我当公布我的答案
[localimg=150,150]2[/localimg]
我的作法可能比较奇怪，当年曾开发过一种正五边形作法，无需用圆，仅仅借助黄金分割的性质，这里就用的这种方法
线比较多.......各位耐心看.......
作法：如图

1、作直径AB，并过O作OC⊥AB，过B作BD⊥AB
2、过C作直线CD∥AB，交BD于D，连接AD
3、分别作∠BDA、∠BAD平分线DE、AG，然后过B作BF⊥DE交AD于F，过F作FH⊥AG交AB于H
4、在射线OC上任取一点I，连接IA、IH、IB，分别交直线CD于L、J、S
5、作射线OJ交IB于K，作射线KC交AB于T、射线KL交AB延长线于M
6、过T作NP⊥AB，连接ON、OP
7、过A作AQ⊥OP交圆O于Q，连接OQ，过P作PR⊥OQ交圆O于R
点N、A、P、Q、R即为所作

证明：
易证BD=AB/2，BD=DF，AF=AH，因此H为AB黄金分割点

由于CD∥AB，可知CL/AO=CJ/OH=JS/BH，由于H为AB黄金分割点，因此J为SL黄金
分割点，而且C为SL中点

然后在此等比例平移——CL/MT=CJ/TO=SJ/BO，因此T为MB中点，O为MB黄金分割点

这样可知，ON=OB，而此正是仿照正五角星之作法，可知∠NOT=∠POT=72度

而AQ⊥OP，可知∠AOP=∠QOP=72，同理∠QOR=72，因此N、A、P、Q、R将圆O五等分