【迎14高考】每日一题 数列2

castelu

设数列${a_n}$满足条件：$a_1=1$，$a_2=2$，且$a_{n+2}=a_{n+1}+a_n$，（$n=1,2,3,\cdots$）
求证：对于任何正整数$n$，都有$\sqrt[n]{a_{n+1}} \ge 1+\frac{1}{\sqrt[n]{a_n}}$

小浣熊

。。。。。

castelu

证明：令$a_0=1$，则有$a_{k+1}=a_k+a_{k-1}$，且$1=\frac{a_k}{a_{k+1}}+\frac{a_{k-1}}{a_{k+1}}$（$k=1,2,\cdots$），是$n=\sum\limits_{k=1}^n \frac{a_k}{a_{k+1}}+\sum\limits_{k=1}^n \frac{a_{k-1}}{a_{k+1}}$，由算术-几何平均值不等式，可得
$1 \ge \sqrt[n]{\frac{a_1}{a_2}\cdot\frac{a_2}{a_3}\cdots\frac{a_n}{a_{n+1}}}+\sqrt[n]{\frac{a_0}{a_2}\cdot\frac{a_1}{a_2}\cdots\frac{a_{n-1}}{a_{n+1}}}$
注意到$a_0=a_1=1$，可知$1 \ge \frac{1}{\sqrt[n]{a_{n+1}}}+\frac{1}{\sqrt[n]{a_na_{n+1}}}$，即$\sqrt[n]{a_{n+1}} \ge 1+\frac{1}{\sqrt[n]{a_n}}$