二次曲线的一个完美结论

zyzme

已知圆E₁，椭圆E₂，双曲线E₃，抛物线E₄，记曲线E={E₁，E₂，E₃，E₄}，设M是定直线L上任意一点。
若过点M可以做E的两条切线，记切点为A，B。证明：直线AB必过定点P。


注：【1】无论E与L是否相交，结论都成立。
       【2】过点M可能做不出E的两条切线。
       【3】可求出P的坐标。
       【4】这个结论在抛物线里有一点点瑕疵，不知道能不能完善。

十字架的悲伤

{:3_78:}{:3_78:}还真在研究二次曲线= =

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有空我把结论写一下

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看你写的也有道理，不过和我的不一样。

高斯门徒

引理：圆锥曲线极点和极线的定义已知圆锥曲线C:Ax2+Cy2+2Dx+2Ey+F=0(A2+C2≠0),则称点P(x0,y0)和直线l:Ax0x+Cy0y+D(x+x0)+E(y+y0)+F=0是圆锥曲线C的一对极点和极线.
定理：若过极线l上一点Q可作C的两条切线，M、N为切点，则直线MN必过极点P。
回到题目中，设定直线方程为ax+bx+c=0.，圆锥曲线方程为Ax2+Cy2+2Dx+2Ey+F=0(A2+C2≠0)。即Ax0+D=a，Cy0+E=b；解得x0=（a-D）/A，y0=（b-E）/C
发现A或者C等于0时，就是抛物线了；这点瑕疵难免的

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附图：仅供参考。
对于E₁：

对于E₂：

对于E₃：

对于E₄：