三角形中的不等于式

qtstc

非要我一遍又一遍的发,最后再发到论坛里- -
锐角三角形ABC中,G为重心,BC>AC>AB,求AG+BC,BG+AC,CG+AB之间的大小关系

qtstc

谢谢了

高斯门徒

还有三者相等

高斯门徒

证明:先用赋值法可猜想CG+AB＜BG+AC＜AG+BC
AG+BC=(根号(2AB^2+2AC^2-BC^2))/3+BC         
BG+AC=(根号(2AB^2+2BC^2-AC^2))/3+AC         
要证(根号(2AB^2+2BC^2-AC^2))/3+AC＜(根号(2AB^2+2AC^2-BC^2))/3+BC成立
只要证2AC-BC＜根号(2AB^2+2AC^2-BC^2)       (倒推)
如果左式小于0则证明
如果左式大于0,要证 2AC-BC＜根号(2AB^2+2AC^2-BC^2)成立
只要证(2AC-BC)^2＜ 2AB^2+2AC^2-BC^2
即4AC^2-4AC*BC+BC^2  ＜  2AB^2+2AC^2-BC^2
即AC^2-2AC*BC+BC^2 ＜AB^2
即BC-AC＜AB显然成立
所以BG+AC＜AG+BC得证
同理可证CG+AB＜BG+AC
综上所述得CG+AB＜BG+AC＜AG+BC

元蛟

用向量