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标题: 直纹面 [打印本页]

作者: castelu    时间: 2017-11-9 20:52
标题: 直纹面
  柱面、锥面和旋转单叶双曲面有一个共同的特点,它们都是由直线构成的,或者说是一条直线沿一条曲线按一定的方式运动所产生的。这一类由直线运动所生成的曲面称为直纹面,直纹面上的直线叫直母线,那条曲线叫准线。在二次曲面中,二次柱面、二次锥面都是直纹面。因为椭球面是有界的,所以椭球面不是直纹面。而双叶双曲面要求$|z| \ge c$,所以如果直线在此曲面上,则直线必然与$xOy$面平行,然而这种直线要么相交于曲面两点;那么与曲面不相交,因而双叶双曲面不可能是直纹面。我们将看到单叶双曲面和双曲抛物面都是直纹面。
  直纹面的动直线的集合称为单参数直线族。设直纹面的准线用向量表示为$a(u)$,$u \in I$,$I$为一区间,动直线在时刻$u$的方向向量为$b(u)$,则直纹面的参数方程为
$$r(u,v)=a(u)+vb(u),u \in I,v \in (-\infty,+\infty)。$$

定理 单叶双曲面和双曲抛物面是直纹面。

  如果曲面的方程是二次的,而且方程可进行因式分解,那么就能得出该曲面是直纹面的论断,并且从因式分解中直接写出直母线族的方程。







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