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标题: Euclid空间的同构 [打印本页]

作者: castelu    时间: 2017-11-9 20:07
标题: Euclid空间的同构
  我们来建立欧氏空间同构的概念。

定义 实数域$R$上欧氏空间$V$与$V'$称为同构的,如果由$V$到$V'$有一个双射$\sigma$,满足
1)$\sigma(\alpha+\beta)=\sigma(\alpha)+\sigma(\beta)$,
2)$\sigma(k\alpha)=k\sigma(\alpha)$,
3)$(\sigma(\alpha),\sigma(\beta))=(\alpha,\beta)$,
  这里$\alpha$,$\beta \in V$,$k \in R$,这样的映射$\sigma$称为$V$到$V'$的同构映射。

  由定义立即看出,如果$\sigma$是欧氏空间$V$到$V'$的一个同构映射,那么$\sigma$也是$V$到$V'$作为线性空间的同构映射。因此,同构的欧氏空间必有相同的维数。
  设$V$是一个$n$维欧氏空间,在$V$中取一组标准正交基$\epsilon_1$,$\epsilon_2$,$\cdots$,$\epsilon_n$。在这组基下,$V$的每个向量$\alpha$都可表成
$$\alpha=x_1\epsilon_1+x_2\epsilon_2+\cdots+x_n\epsilon_n。$$
  令
$$\sigma(\alpha)=(x_1,x_2,\cdots,x_n) \in R^n。$$
  我们知道,这是$V$到$R^n$的一个双射,并且适合定义中条件1),2)。几何中向量的内积在直角坐标系中坐标表达式的推广说明,$\sigma$也适合定义中条件3),因而$\sigma$是$V$到$R^n$的一个同构映射,由此可知,每个$n$维的欧氏空间都与$R^n$同构。
  同构作为欧氏空间之间的关系具有反身性、对称性与传递性。
  既然每个$n$维欧氏空间都与$R^n$同构,按对称性与传递性即得,任意两个$n$维欧氏空间都同构。综上所述,就有

定理 两个有限维欧氏空间同构的充分必要条件是它们的维数相同。

  这个定理说明,从抽象的观点看,欧氏空间的结构完全被它的维数决定。




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