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标题: 不变子空间 [打印本页]

作者: castelu    时间: 2017-11-9 19:51
标题: 不变子空间
定义 设$\mathcal A$是数域$P$上线性空间$V$的线性变换,$W$是$V$的子空间。如果$W$中的向量在$\mathcal A$下的像仍在$W$中,换句话说,对于$W$中任一向量$\xi$,有$\mathcal A \xi \in W$,我们就称$W$是$\mathcal A$的不变子空间,简称$\mathcal A$-子空间。

  下面讨论不变子空间与线性变换矩阵化简之间的关系。
1)设$\mathcal A$是$n$维线性空间$V$的线性变换,$W$是$V$的$\mathcal A$-子空间。在$W$中取一组基$\epsilon_1$,$\epsilon_2$,$\cdots$,$\epsilon_k$,并且把它扩充成$V$的一组基
$$\epsilon_1,\epsilon_2,\cdots,\epsilon_k,\epsilon_{k+1},\cdots,\epsilon_n。$$
  那么,$\mathcal A$在这组基下的矩阵就具有下列形状
$$ \left( {\begin{array}{*{20}{c}} a_{11}&\cdots&a_{1k}&a_{1,k+1}&\cdots&a_{1n}\\ \vdots&&\vdots&\vdots&&\vdots\\ a_{k1}&\cdots&a_{kk}&a_{k,k+1}&\cdots&a_{kn}\\ 0&\cdots&0&a_{k+1,k+1}&\cdots&a_{k+1,n}\\ \vdots&&\vdots&\vdots&&\vdots\\ 0&\cdots&0&a_{n,k+1}&\cdots&a_{n n} \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} A_1&A_3\\ O&A_2 \end{array}} \right) 。$$
  并且左上角的$k$级矩阵$A_1$就是$\mathcal A|W$在$W$的基$\epsilon_1$,$\epsilon_2$,$\cdots$,$\epsilon_k$下的矩阵。
  反之,如果$\mathcal A$在基$\epsilon_1$,$\epsilon_2$,$\cdots$,$\epsilon_k$,$\epsilon_{k+1}$,$\cdots$,$\epsilon_n$下的矩阵是
$$\left( {\begin{array}{*{20}{c}} a_{11}&\cdots&a_{1k}&a_{1,k+1}&\cdots&a_{1n}\\ \vdots&&\vdots&\vdots&&\vdots\\ a_{k1}&\cdots&a_{kk}&a_{k,k+1}&\cdots&a_{kn}\\ 0&\cdots&0&a_{k+1,k+1}&\cdots&a_{k+1,n}\\ \vdots&&\vdots&\vdots&&\vdots\\ 0&\cdots&0&a_{n,k+1}&\cdots&a_{n n} \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} A_1&A_3\\ O&A_2 \end{array}} \right),$$
  那么不难证明,由$\epsilon_1$,$\epsilon_2$,$\cdots$,$\epsilon_k$生成的子空间$W$是$\mathcal A$的不变子空间。
2)设$V$分解成若干个$\mathcal A$-子空间的直和:
$$V=W_1 \oplus W_2 \oplus \cdots \oplus W_s。$$
  在每一个$\mathcal A$-子空间$W_i$中取基
$$\epsilon_{i1},\epsilon_{i2},\cdots,\epsilon_{i n_i}(i=1,2,\cdots,s),$$
  并把它们合并起来成为$V$的一组基$I$。则在这组基下,$\mathcal A$的矩阵具有准对角形状
$$ \left( {\begin{array}{*{20}{c}} A_1&&&\\ &A_2&&\\ &&\ddots&\\ &&&A_s \end{array}} \right) $$
  其中$A_i$($i=1,2,\cdots,s$)就是$\mathcal A|W_i$在基$\epsilon_{i1}$,$\epsilon_{i2}$,$\cdots$,$\epsilon_{i n_i}$($i=1,2,\cdots,s$)下的矩阵。
  反之,如果线性变换$\mathcal A$在基$I$下的矩阵是准对角形
$$\left( {\begin{array}{*{20}{c}} A_1&&&\\ &A_2&&\\ &&\ddots&\\ &&&A_s \end{array}} \right),$$
  则由$\epsilon_{i1}$,$\epsilon_{i2}$,$\cdots$,$\epsilon_{i n_i}$($i=1,2,\cdots,s$)生成的子空间$W_i$是$\mathcal A-$子空间。
  由此可知,矩阵分解为准对角形与空间分解为不变子空间的直和是相当的。
  下面我们应用Hamilton-Caylay定理将空间$V$按特征值分解成不变子空间的直和。

定理 设线性变换$\mathcal A$的特征多项式为$f(\lambda)$,它可分解成一次因式的乘积
$$f(\lambda)=(\lambda-\lambda_1)^{r_1}(\lambda-\lambda_2)^{r_2} \cdots (\lambda-\lambda_s)^{r_s}。$$
  则$V$可分解成不变子空间的直和
$$V=V_1 \oplus V_2 \oplus \cdots \oplus V_s,$$
  其中$V_i=\left\{\xi|(\mathcal A-\lambda_i \mathcal\epsilon)^{r_i} \xi=0,\xi \in V \right\}$。




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