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标题: 线性变换的运算 [打印本页]

作者: castelu    时间: 2017-11-9 19:42
标题: 线性变换的运算
  我们来介绍线性变换的运算及其简单性质。
  首先,线性空间的线性变换作为映射的特殊情形当然可以定义乘法。设$\mathcal A$,$\mathcal B$是线性空间$V$的两个线性变换,定义它们的乘积$\mathcal {AB}$为
$$(\mathcal {AB})(\alpha)=\mathcal A(\mathcal B(\alpha)),(\alpha \in V)。$$
  线性变换的乘积也是线性变换。
  $\mathcal {AB}$是线性的。
  既然一般映射的乘法适合结合律,线性变换的乘法当然也适合结合律,即
$$(\mathcal {AB})\mathcal C=\mathcal A(\mathcal {BC})。$$
但线性变换的乘法一般是不可交换的。
  对于乘法,单位变换$\mathcal \epsilon$有特殊的地位。对于任意线性变换$\mathcal A$都有
$$\mathcal \epsilon \mathcal A=\mathcal A\mathcal \epsilon=\mathcal A。$$
  其次,对于线性变换还可以定义加法。设$\mathcal A$,$\mathcal B$是线性空间$V$的两个线性变换,定义它们的和$\mathcal A+\mathcal B$为
$$(\mathcal A+\mathcal B)(\alpha)=\mathcal A(\alpha)+\mathcal B(\alpha)(\alpha \in V)。$$
线性变换的和还是线性变换。
  线性变换的加法适合结合律与交换律,即
$$\mathcal A+(\mathcal B+\mathcal C)=(\mathcal A+\mathcal B)+\mathcal C,$$
$$\mathcal A+\mathcal B=\mathcal B+\mathcal A。$$
  对于加法,零变换$\mathcal O$有着特殊的地位。它与所有线性变换$\mathcal A$的和仍等于$\mathcal A$:
$$\mathcal A+\mathcal O=\mathcal A。$$
  对于每个线性变换$\mathcal A$,我们可以定义它的负变换$(-\mathcal A)$:
$$(-\mathcal A)(\alpha)=-\mathcal A(\alpha)(\alpha \in V)。$$
  容易看出,负变换$(-\mathcal A)$也是线性的,且
$$\mathcal A+(-\mathcal A)=\mathcal O。$$
  线性变换的乘法对加法有左右分配律,即
$$\mathcal A(\mathcal B+\mathcal C)=\mathcal {AB}+\mathcal {AC},$$
$$(\mathcal B+\mathcal C)\mathcal A=\mathcal {BA}+\mathcal {CA}。$$
  数域$P$中每个数$k$都决定一个数乘变换$\mathcal K$。利用线性变换的乘法,可以定义数域$P$中的数与线性变换的数量乘法
$$k\mathcal A=\mathcal K\mathcal A,$$
  即
$$(k\mathcal A)(\alpha)=\mathcal K(\mathcal A(\alpha))=\mathcal K\mathcal A(\alpha),$$
  当然,$k\mathcal A$还是线性变换。容易看出,线性变换的数量乘法适合以下的规律:
$$(kl)\mathcal A=k(l\mathcal A),$$
$$(k+l)\mathcal A=k\mathcal A+l\mathcal A,$$
$$k(\mathcal A+\mathcal B)=k\mathcal A+k\mathcal B,$$
$$1\mathcal A=\mathcal A。$$
  对于线性变换,我们已经定义了乘法、加法与数量乘法三种运算。由加法与数量乘法的性质可知,线性空间$V$上全体线性变换,对于如上定义的加法与数量乘法,也构成数域$P$上一个线性空间。
  $V$的变换$\mathcal A$称为可逆的,如果有$V$的变换$\mathcal B$存在,使
$$\mathcal {AB}=\mathcal {BA}=\mathcal \epsilon。$$
  这时,变换$\mathcal B$称为$\mathcal A$的逆变换,记为$\mathcal A^{-1}$。
  最后,我们引进线性变换的多项式的概念。
  既然线性变换的乘法满足结合律,当若干个线性变换$\mathcal A$重复相乘时,其最终结果是完全确定的,与乘积的结合方法无关。因此当$n$个($n$是正整数)线性变换$\mathcal A$相乘时,我们就可以用
$$\overbrace {\mathcal {AA} \cdots \mathcal A}^{n个}$$
  来表示,称为$\mathcal A$的$n$次幂,简单地记作$\mathcal A^n$。此外,作为定义,令
$$\mathcal A^0=\mathcal \epsilon。$$
  根据线性变换幂的定义,可以推出指数法则:
$$\mathcal A^{m+n}=\mathcal A^m\mathcal A^n,(\mathcal A^m)^n=\mathcal A^{mn}(m,n \ge 0)。$$
  当线性变换$\mathcal A$可逆时,定义$\mathcal A$的负整数幂为
$$\mathcal A^{-n}=(\mathcal A^{-1})^n(n是正整数)。$$
  这时,指数乘法可以推广到负整数幂的情形。
  值得注意的是,线性变换乘积的指数法则不成立,即一般说来
$$(\mathcal {AB})^n \ne \mathcal A^n\mathcal B^n。$$
  设
$$f(x)=a_mx^m+a_{m-1}x^{m-1}+\cdots+a_0$$
  是$P[x]$中一多项式,$\mathcal A$是$V$的一线性变换,我们定义
$$f(\mathcal A)=a_m\mathcal A^m+a_{m-1}\mathcal A^{m-1}+\cdots+a_0\epsilon。$$
  显然,$f(\mathcal A)$是一线性变换,它称为线性变换$\mathcal A$的多项式
  不难验证,如果在$P[x]$中
$$h(x)=f(x)+g(x),p(x)=f(x)g(x),$$
  那么
$$h(\mathcal A)=f(\mathcal A)+g(\mathcal A),p(\mathcal A)=f(\mathcal A)g(\mathcal A)。$$
  特别地,
$$f(\mathcal A)g(\mathcal A)=g(\mathcal A)f(\mathcal A)。$$
  即同一个线性变换的多项式的乘法是可交换的。
  线性变换之间的一些关系可以通过线性变换的运算表示出来。




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