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标题: 线性空间 [打印本页]

作者: castelu    时间: 2017-11-9 19:31
标题: 线性空间
定义 设$V$是一个非空集合,$P$是一个数域。在集合$V$的元素之间定义了一种代数运算,叫做加法;这就是说,给出了一个法则,对于$V$中任意两个元素$\alpha$与$\beta$,在$V$中都有唯一的一个元素$\gamma$与它们对应,称为$\alpha$与$\beta$的和,记为$\gamma=\alpha+\beta$。在数域$P$与集合$V$的元素之间还定义了一种运算,叫做数量乘法;这就是说,对于数域$P$中任一数$k$与$V$中任一元素$\alpha$,在$V$中都有唯一的一个元素$\delta$与它们对应,称为$k$与$\alpha$的数量乘积,记为$\delta=k\alpha$。如果加法与数量乘法满足下述规则,那么$V$称为数域$P$上的线性空间。
  加法满足下面四条规则:
1、$\alpha+\beta=\beta+\alpha$;
2、$(\alpha+\beta)+\gamma=\alpha+(\beta+\gamma)$;
3、在$V$中有一个元素$0$,对于$V$中任一元素$\alpha$都有
$$0+\alpha=\alpha$$
(具有这个性质的元素$0$称为$V$的零元素);
4、对于$V$中每一个元素$\alpha$,都有$V$中的元素$\beta$,使得
$$\alpha+\beta=0$$
($\beta$称为$\alpha$的负元素)。
  数量乘法满足下面两条规则:
5、$1\alpha=\alpha$;
6、$k(l\alpha)=(kl)\alpha$。
  数量乘法与加法满足下面两条规则:
7、$(k+l)\alpha=k\alpha+l\alpha$;
8、$k(\alpha+\beta)=k\alpha+k\beta$。

  在以上规则中,$k$,$l$表示数域$P$中的任意数;$\alpha$,$\beta$,$\gamma$等表示集合$V$中任意元素。
  由定义,几何空间中全部向量组成的集合是一个实数域上的线性空间。分量属于数域$P$的全体$n$元数组构成数域$P$上的一个线性空间,这个线性空间我们用$P^n$来表示。
  线性空间的元素也称为向量。当然,这里所谓向量比几何中所谓向量的涵义要广泛得多。线性空间有时也称为向量空间。以下我们经常是用黑体的小写希腊字母$\alpha$,$\beta$,$\gamma$,$\cdots$代表线性空间$V$中的元素,用小写的拉丁字母$a$,$b$,$c$,$\cdots$代表数域$P$中的数。
  线性空间的一些简单性质:
1、零元素是唯一的。
2、负元素是唯一的。
  向量$\alpha$的负元素记为$-\alpha$。
  利用负元素,我们定义减法如下:
$$\alpha-\beta=\alpha+(-\beta)。$$
3、$0\alpha=0$;$k0=0$;$(-1)\alpha=-\alpha$。
4、如果$k\alpha=0$,那么$k=0$或者$\alpha=0$。




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