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标题: Vandermonde行列式 [打印本页]

作者: castelu    时间: 2017-11-9 18:37
标题: Vandermonde行列式
  行列式
$$d= \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&1&1&1&1\\ a_1&a_2&a_3&\cdots&a_n\\ a_1^2&a_2^2&a_3^2&\cdots&a_n^2\\ \vdots&\vdots&\vdots&&\vdots\\ a_1^{n-1}&a_2^{n-1}&a_3^{n-1}&\cdots&a_n^{n-1} \end{array}} \right| $$
  称为$n$级的Vandermonde行列式,对任意的$n$($n \ge 2$),$n$级Vandermonde行列式等于$a_1$,$a_2$,$\cdots$,$a_n$这$n$个数的所有可能的差$a_i-a_j$($1 \le j < i \le n$)的乘积,结果可以简写为
$$d= \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&1&1&1&1\\ a_1&a_2&a_3&\cdots&a_n\\ a_1^2&a_2^2&a_3^2&\cdots&a_n^2\\ \vdots&\vdots&\vdots&&\vdots\\ a_1^{n-1}&a_2^{n-1}&a_3^{n-1}&\cdots&a_n^{n-1} \end{array}} \right| =\prod\limits_{1 \le j < i \le n} (a_i-a_j)。$$
  Vandermonde行列式为零的充分必要条件是$a_1$,$a_2$,$\cdots$,$a_n$这$n$个数当中至少有两个相等。




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