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标题: 多项式函数 [打印本页]

作者: castelu    时间: 2017-11-9 18:21
标题: 多项式函数
  设
$$f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0$$
  是$P[x]$中的多项式,$\alpha$是$P$中的数,在上式中用$\alpha$代$x$所得的数
$$a_n\alpha^n+a_{n-1}\alpha^{n-1}+\cdots+a_1\alpha+a_0$$
  称为$f(x)$当$x=\alpha$时的值,记为$f(\alpha)$。这样一来,多项式$f(x)$就定义了一个数域$P$上的函数。可以由一个多项式来定义的函数称为数域$P$上的多项式函数。当$P$是实数域时,这就是数学分析中所讨论的多项式函数。
  因为$x$在与数域$P$中的数进行运算时适合与数的运算相同的运算规律,所以不难看出,如果
$$h_1(x)=f(x)+g(x),$$
$$h_2(x)=f(x)g(x),$$
  那么
$$h_1(\alpha)=f(\alpha)+g(\alpha),$$
$$h_2(\alpha)=f(\alpha)g(\alpha)。$$
  利用带余除法,我们得到下面常用的定理:

定理1(余数定理) 用一次多项式$x-\alpha$去除多项式$f(x)$,所得的余式是一个常数,这个常数等于函数值$f(\alpha)$。

  如果$f(x)$在$x=\alpha$时函数值$f(\alpha)=0$,那么$\alpha$就称为$f(x)$的一个根或零点。
  由余数定理我们得到根与一次因式的关系:

推论 $\alpha$是$f(x)$的根的充分必要条件是$(x-\alpha) \mid f(x)$。

  由这个关系,我们可以定义重根的概念。$\alpha$称为$f(x)$的$k$重根,如果$(x-\alpha)$是$f(x)$的$k$重因式。当$k=1$时,$\alpha$称为单根;当$k \ge 1$时,$\alpha$称为重根。

定理2 $P[x]$中$n$次多项式($n \ge 0$)在数域$P$中的根不可能多于$n$个,重根按重数计算。

定理3 如果多项式$f(x)$,$g(x)$的次数都不超过$n$,而它们对$n+1$个不同的数$\alpha_1$,$\alpha_2$,$\cdots$,$\alpha_{n+1}$有相同的值,即
$$f(\alpha_i)=g(\alpha_i),$$
  $i=1,2,\cdots,n+1$,那么$f(x)=g(x)$。

  因为数域$P$中有无穷多个数,所以定理3说明了,不同的多项式定义的函数也不相同。如果两个多项式定义相同的函数,就称为恒等,上面的结论表明,多项式的恒等与多项式相等实际上是一致的。换句话说,数域上的多项式既可以作为形式表达式来处理,也可以作为函数来处理。




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