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标题: 一般反函数定理 [打印本页]

作者: castelu    时间: 2017-11-8 23:08
标题: 一般反函数定理
  设$x \subset R^n$,$Y \subset R^m$,$\Omega=X \times Y \subset R^{n+m}$,$F:\Omega \to R^m$。考察向量函数方程
$$F(x,y)=0,x \in X,y \in Y。$$
  如果存在向量函数$f:U \to Y$($U \subset X$),当用$f(x)$,$x \in U$去替换方程中的$y$时,能使上式变成恒等式
$$F(x,f(x)) \equiv 0,x \in U,$$
  这时我们称函数$f$是由方程所确定的定义在$U$上的隐函数。
  方程是一组含有$n+m$个变元的$m$个方程;而$y=f(x)$则是方程的“解”,即由方程所确定的隐函数组。
  出于叙述定理的需要,我们引入向量函数关于一部分变元的偏导数符号:对上述函数$F$,当固定$y in Y$时,它关于$x$的偏导数记为
$$F_x'(x,y)或D_xF(x,y)(为m \times n矩阵)。$$
  当固定$x \in X$时,它关于$y$的偏导数记为
$$F_y'(x,y)或D_yF(x,y)(为m \times m矩阵)$$

定理(隐函数定理) 设$x \subset R^n$,$Y \subset R^m$都是开集,$\Omega=X \times Y \subset R^{n+m}$(亦为开集),$F:\Omega \to R^m$。如果$F$满足下列条件:
(i)存在$x_0 \in X$,$y_0 \in Y$,使得$F(x_0,y_0)=0$;
(ii)$F$在$\Omega$上可微,且$F'$连续;
(iii)$\det F_y'(x_0,y_0) \ne 0$,
则存在点$x_0$的$n$维邻域$U=U(x_0) \subset X$和点$y_0$的$m$维邻域$V=V(y_0) \subset Y$,使得在点$(x_0,y_0)$的$n+m$维邻域$W=u \times v \subset \Omega$内,由方程
$$F(x,y)=0,x \in X,y \in Y$$
惟一地确定了隐函数$f:U \to V$,它满足
1、$y_0=f(x_0)$;
2、当$x \in U$时$(x,f(x)) \in W$,具有恒等式
$$F(x,f(x)) \equiv 0,x \in U,$$
  即
$$F(x,f(x)) \equiv 0;$$
3、$f$在$U$内存在连续偏导数$f'$,且
$$f'(x)=-[F_y'(x,y)]^{-1}F_x'(x,y),(x,y) \in W。$$




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