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标题: 向量函数 [打印本页]

作者: castelu    时间: 2017-11-8 23:08
标题: 向量函数
  这里我们采用集合来定义函数,它与以往的定义方式具有相同的含义。

定义 若$X \subset R^n$,$Y \in R^m$,$f$是$X \times Y$的一个子集,对每一个$x \in X$,都有惟一的一个$y \in Y$,使$(x,y) \in f$,则称$f$为$X$到$Y$的向量函数(也简称函数或称映射),记作
$$f:X \to Y,$$
$$x \mapsto y,$$
  或简单地记作$f: X \to Y$,其中$X$称为函数$f$的定义域。

  易见,当$n=2$(或$n=3$),$m=1$时,由定义所确定的函数就是我们原来所熟悉的二元(或三元)实值函数。
  在映射的意义下,$x \in x$在$f$下的象为$y=f(x) \in Y$,$X$在$f$下的象集为$f(X)=\left\{f(x)|x \in X \right\} \subset Y$,$x$称为$f(x)$的原象。
  设$f:X \to Y$,若对任何$x'$,$x'' \in X$,只要$x' \ne x''$就有$f(x') \ne f(x'')$,则称$f$为$X$到$Y$的一一映射(或称为单射)。
  一般地,当$f_1$,$f_2$,$\cdots$,$f_m$为$f$的分量函数(或坐标函数)时,可写作
$$f(x)= \left( {\begin{array}{*{20}{c}} f_1(x)\\ \vdots\\ f_m(x) \end{array}} \right)= \left( {\begin{array}{*{20}{c}} f_1(x_1,\cdots,x_n)\\ \vdots\\ f_m(x_1,\cdots,x_n) \end{array}} \right)或f= \left( {\begin{array}{*{20}{c}} f_1\\ \vdots\\ f_m \end{array}} \right) 。$$
  于是,两个相同维数的向量函数$f$与$g$在相同的定义域上的和(差)函数为
$$f \pm g= \left( {\begin{array}{*{20}{c}} f_1 \pm g_1\\ \vdots\\ f_m \pm g_m \end{array}} \right)。$$
一个实值函数$\alpha$与一个向量函数$f$在相同的定义域上的乘积函数是
$$\alpha f= \left( {\begin{array}{*{20}{c}} \alpha f_1\\ \vdots\\ \alpha f_m \end{array}} \right)。$$
  两个向量函数$f$与$h$的复合函数是
$$h \circ f: X \to Y \to Z,(x \subset R^n,f(X) \subset Y \subset R^m,Z \subset R^r)$$
  或
$$h \circ f= \left( {\begin{array}{*{20}{c}} h_1 \circ f\\ \vdots\\ h_r \circ f \end{array}} \right) ,$$
  其中$(h_i \circ f)(x)=h_i(f_1(x),\cdots,f_m(x))$,$x \in X$。







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