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标题: 平面有界图形的面积 [打印本页]

作者: castelu    时间: 2017-11-8 23:03
标题: 平面有界图形的面积
  所谓一个平面图形$P$是有界的,是指构成这个平面图形的点集是平面上的有界点集,即存在一矩形$R$,使得$P \subset R$。
  设$P$是一平面有界图形,用某一平行于坐标轴的一组直线网$T$分割这个图形。这时直线网$T$的网眼——小闭矩形$\Delta_i$可分为三类:
(i)$\Delta_i$上的点都是$P$的内点;
(ii)$\Delta_i$上的点都是$P$的外点,即$\Delta_i \cap \overline P = \emptyset$;
(iii)$\Delta_i$上含有$P$的边界点。
  我们将所有属于直线网$T$的第(i)类小矩形的面积加起来,记这个和数为$s_P(T)$,则有$s_P(T) \le \Delta_R$(这里$\Delta_R$表示包含$P$的那个矩形$R$的面积);将所有第(i)类与第(iii)类小矩形的面积加起来,记这个和数为$S_P(T)$,则有$s_P(T) \le S_P(T)$。
  由确界存在定理可以推得,对于平面上所有直线网,数集$\left\{s_P(T) \right\}$有上确界,数集$\left\{S_P(T) \right\}$有下确界,记
$$\underline {I_P}=\sup\limits_T {s_P(T)},\overline {I_P}=\inf\limits_T {S_P(T)}。$$
  显然有
$$0 \le \underline {I_P} \le \overline {I_P}。$$
通常称$\underline {I_P}$为$P$的内面积,$\overline {I_P}$为$P$的外面积。

定义 若平面图形$P$的内面积$\underline {I_P}$等于它的外面积$\overline {I_P}$,则称$P$为可求面积,并称其共同值$I_P=\underline {I_P}=\overline {I_P}$为$P$的面积。

定理1 平面有界图形$P$可求面积的充要条件是:对任给的$\epsilon>0$,总存在直线网$T$,使得
$$S_P(T)-s_P(T)<\epsilon。$$

推论 平面有界图形$P$的面积为零的充要条件是它的外面积$\overline {I_P}=0$,即对任给的$\epsilon>0$,存在直线网$T$,使得
$$S_P(T)<\epsilon,$$

  或对任给的$\epsilon>0$,平面图形$P$能被有限个其面积总和小于$\epsilon$的小矩形所覆盖。

定理2 平面有界图形$P$可求面积的充要条件是:$P$的边界$K$的面积为零。

定理3 若曲线$K$为由定义在$[a,b]$上的连续函数$f(x)$的图象,则曲线$K$的面积为零。

  我们还可证明:由参量方程$x=\phi(t)$,$y=\psi(t)$($\alpha \le \beta$)所表示的平面光滑曲线(即$\phi$,$\psi$在$[\alpha,\beta]$上具有连续的导函数)或按段光滑曲线,其面积一定为零。




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