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标题: 隐函数定理 [打印本页]

作者: castelu    时间: 2017-11-8 22:59
标题: 隐函数定理
定理1(隐函数存在惟一性定理) 若满足下列条件:
(i)函数$F$在以$P_0(x_0,y_0)$为内点的某一区域$D \subset R^2$上连续;
(ii)$F(x_0,y_0)=0$(通常称为初始条件);
(iii)在$D$内存在连续的偏导数$F_y(x,y)$;
(iv)$F_y(x_0,y_0) \ne 0$,
  则在点$P_0$的某邻域$U(P_0) \subset D$内,方程$F(x,y)=0$惟一地确定了一个定义在某区间$(x_0-\alpha,x_0+\alpha)$内的函数(隐函数)$y=f(x)$,使得
1、$f(x_0)=y_0$,$x \in (x_0-\alpha,x_0+\alpha)$时$(x,f(x)) \in U(P_0)$且$F(x,f(x)) \equiv 0$;
2、$f(x)$在$(x_0-\alpha,x_0+\alpha)$内连续。

注意
1、定理1的条件仅仅是充分的。
2、对于定理1所要证明的结论来说,可以把条件(iii)和(iv)减弱为“$F$在$P_0$的某一邻域内关于$y$严格单调”。现在采用较强的条件(iii)和(iv),只是为了在实际应用中便于检验。
3、如果把定理的条件(iii)、(iv)改为$F_x(x,y)$连续,且$F_x(x_0,y_0) \ne 0$。这时结论是存在惟一的连续函数$x=g(y)$。

定理2(隐函数可微性定理) 设$F(x,y)$满足隐函数存在惟一性定理中的条件(i)-(iv),又设在$D$内还存在连续的偏导数$F_x(x,y)$,则由方程$F(x,y)=0$所确定的隐函数$y=f(x)$在其定义域$(x_0-\alpha,x_0+\alpha)$内有连续导函数,且
$$f'(x)=-\frac{F_x(x,y)}{F_y(x,y)}。$$

定理3 若
(i)函数$F(x_1,x_2,\cdots,x_n,y)$在以点$P_0(x_1^0,x_2^0,\cdots,x_n^0,y^0)$为内点的区域$D \subset R^{n+1}$上连续;
(ii)$F(x_1^0,x_2^0,\cdots,x_n^0,y^0)=0$;
(iii)偏导数$F_{x_1}$,$F_{x_2}$,$\cdots$,$F_{x_n}$,$F_y$在$D$内存在且连续;
(iv)$F_y(x_1^0,x_2^0,\cdots,x_n^0,y^0) \ne 0$,
  则在点$P_0$的某邻域$U(P_0) \subset D$内,方程$F(x_1,x_2,\cdots,x_n,y)=0$惟一地确定了一个定义在$Q_0(x_1^0,x_2^0,\cdots,x_n^0)$的某邻域$U(Q_0) \subset R^n$内的$n$元连续函数(隐函数)$y=f(x_1,\cdot,x_n)$,使得
1、当$(x_1,x_2,\cdot,x_n) \in U(Q_0)$时
$$(x_1,x_2,\cdot,x_n,f(x_1,x_2,\cdot,x_n)) \in U(P_0),$$
  且$F(x_1,\cdot,x_n,f(x_1,\cdot,x_n)) \equiv 0$,
$$y^0=f(x_1^0,\cdots,x_n^0)。$$
2、$y=(x_1,\cdot,x_n)$在$U_(Q_0)$内有连续偏导数:$f_{x_1}$,$f_{x_2}$,$\cdots$,$f_{x_n}$,而且
$$f_{x_1}=-\frac{F_{x_1}}{F_y},f_{x_2}=-\frac{F_{x_2}}{F_y},\cdots,f_{x_n}=-\frac{F_{x_n}}{F_y}。$$




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