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标题: 可积条件 [打印本页]

作者: castelu    时间: 2017-11-8 21:49
标题: 可积条件
定理1(可积的必要条件) 若函数$f$在$[a,b]$上可积,则$f$在$[a,b]$上必定有界。

定理2(可积的充分条件) 若$f$为$[a,b]$上的连续函数,则$f$在$[a,b]$上可积。

定理3(可积的充分条件) 若$f$是区间$[a,b]$上只有有限个间断点的有界函数,则$f$在$[a,b]$上可积。

定理4(可积的充分条件) 若$f$是$[a,b]$上的单调函数,则$f$在$[a,b]$上可积。

定理5(可积准则) 函数$f$在$[a,b]$上可积的充要条件是:任给$\epsilon>0$,总存在相应的一个分割$T$,使得
$$S(T)-s(T)< \epsilon。$$

  设$w_i=M_i-m_i$,称为$f$在$\Delta_i$上的振幅,有必要时也记为$w_i^f$。由于
$$S(T)-s(T)=\sum\limits_{i=1}^nw_i \Delta x_i(或记为\sum\limits_{T}w_i \Delta x_i),$$
  因此可积准则又可改述如下:

定理6 函数$f$在$[a,b]$上可积的充要条件是:任给$\epsilon>0$,总存在相应的某一分割$T$,使得
$$\sum\limits_{T}w_i \Delta x_i< \epsilon。$$
  不等式的几何意义是:若$f$在$[a,b]$上可积,则包围曲线$y=f(x)$的一系列小矩形面积之和可以达到任意小,只要分割充分地细;反之亦然。

定理7(可积的第一充要条件) 函数$f$在$[a,b]$上可积的充要条件是:$f$在$[a,b]$上的上积分与下积分相等,即
$$S=s。$$

定理8(可积的第二充要条件) 函数$f$在$[a,b]$上可积的充要条件是:任给$\epsilon>0$,总存在某一分割$T$,使得
$S(T)-s(T)< \epsilon$,即$\sum\limits_{i=1}^nw_i \Delta x_i < \epsilon$。
  其中$w_i=M_i-m_i$($f$在$\Delta_i$上的振幅),$i=1,2,\cdots,n$。
  此定理即为可积准则。

定理9(可积的第三充要条件) 函数$f$在$[a,b]$上可积的充要条件是:任给正数$\epsilon,\eta$,总存在某一分割$T$,使得属于$T$的所有小区间中,对应于振幅$w_{k'} \ge \epsilon$的那些小区间$\Delta_{k'}$的总长$\sum\limits_{k'} \Delta x_{k'} < \eta$。




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