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标题: Taylor公式 [打印本页]

作者: castelu    时间: 2017-11-8 19:57
标题: Taylor公式
  我们在学习导数和微分概念时已经知道,如果函数$f$在点$x_0$可导,则有
$$f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+o(x-x_0)。$$
  即在点$x_0$附近,用一次多项式$f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)$逼近函数$f(x)$时,其误差为$(x-x_0)$的高阶无穷小量。然而在很多场合,取一次多项式逼近是不够的,往往需要用二次或高于二次的多项式去逼近,并要求误差为$o((x-x_0)^n)$,其中$n$为多项式的次数。为此,我们考察任一$n$次多项式
$$p_n(x)=a_0+a_1(x-x_0)+a_2(x-x_0)^2+ \cdots + a_n(x-x_0)^n。$$
  逐次求它在点$x_0$处的各阶导数,得到
$$p_n(x_0)=a_0,p_n'(x_0)=a_1,p_n''(x_0)=2!a_2,\cdots,p_n^{(n)}(x_0)=n!a_n,$$
  即
$$a_0=p_n(x_0),a_1=\frac{p_n'(x_0)}{1!},a_2=\frac{p_n''(x_0)}{2!},\cdots,a_n=\frac{p_n^{(n)}(x_0)}{n!}。$$
  由此可见,多项式$p_n(x)$的各项系数由其在点$x_0$的各阶导数值所唯一确定。
  对于一般函数$f$,设它在点$x_0$存在直到$n$阶的导数。由这些导数构造一个$n$次多项式
$$T_n(x)=f(x_0)+\frac{f'(x_0)}{1!}(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+ \cdots +\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n,$$
  称为函数$f$在点$x_0$处的泰勒(Taylor)多项式,$T_n(x)$的各项系数$\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^n (k=1,2,\cdots,n)$称为泰勒(Taylor)系数

定理1(Taylor公式) 若函数$f$在点$x_0$存在直至$n$阶导数,则有$f(x)=T_n(x)+o((x-x_0)^n)$,即
$$f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+ \cdots + \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n+o((x-x_0)^n)。$$

  定理中$R_n(x)=f(x)-T_n(x)$称为Taylor公式的余项,形如$o((x-x_0)^n)$的余项称为佩亚诺(Peano)型余项。所以上式又称为带有Peano型余项的Taylor公式

注1 若$f(x)$在点$x_0$附近满足
$$f(x)=p_n(x)+o((x-x_0)^n),$$

  其中$p_n(x)$为$n$阶多项式,这时并不意味着$p_n(x)$必定就是$f$的Taylor多项式$T_n(x)$。

注2 满足上式要求(即带有Peano型误差)的$n$次逼近多项式$p_n(x)$是唯一的。

  综合定理1和上述注2,若函数$f$满足定理1的条件时,满足上式要求的逼近多项式$p_n(x)$只可能是$f$的Taylor多项式$T_n(x)$。
  以后用得较多的是Taylor公式在$x_0=0$时的特殊形式:
$$f(x)=f(0)+f'(0)x+\frac{f''(0)}{2!}x^2+ \cdots + \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n+o(x^n)。$$
  它也称为带有Peano余项的Maclaurin公式
  上面我们从微分近似出发,推广得到用$n$次多项式逼近函数的Taylor公式。它的Peano型余项只是定性地告诉我们:当$x \to x_0$时,逼近误差是较$(x-x_0)^n$高阶的无穷小量。现在我们将Taylor公式构造一个定量形式的余项,以便于对逼近误差进行具体的计算或估计。

定理2(Taylor定理) 若函数$f$在$[a,b]$上存在直至$n$阶的连续导函数,在$(a,b)$内存在$(n+1)$阶导函数,则对任意给定的$x$,$x_0 \in [a,b]$,至少存在一点$\xi \in (a,b)$,使得
$$f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+ \cdots + \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n+\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}。$$

  上式同样称为Taylor公式,它的余项为
$$R_n(x)=f(x)-T_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1},$$
$$\xi =x_0+ \theta(x-x_0) (0< \theta <1),$$
  称为Largrange型余项。所以上式又称为带有Lagrange型余项的Taylor公式
  注意到$n=0$时,上式即为Lagrange中值公式
$$f(x)-f(x_0)=f'(\xi)(x-x_0)。$$
  所以,Taylor定理可以看作Lagrange中值定理的推广。
  当$x_0=0$时,得到Taylor公式
$$f(x)=f(0)+f'(0)x+\frac{f''(0)}{2!}x^2+ \cdots + \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n+\frac{f^{(n+1)}(\theta x)}{(n+1)!}x^{n+1} (0< \theta <1)。$$
  上式也称为带有Lagrange余项的Maclaurin公式

  设函数$f$在点$x_0$的某邻域$U(x_0)$内有$n+1$阶连续导函数。令$x \in U(x_0)$,$u(t)=(x-t)^n$,$v(t)=f(t)$,$t \in [x_0,x]$(或$[x,x_0]$)。利用推广的定积分分部积分公式得
$$\int_{x_0}^x {x_t}^nf^{(n+1)}(t)dt=[(x-t)^nf^{(n)}(t)+n(x-t)^{n-1}f^{(n-1)}(t)+\cdots+n!f(t)]_{x_0}^x+\int_{x_0}^x0 \cdot f(t)dt$$
$$=n!f(x)-n![f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\cdots+\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n]$$
$$=n!R_n(x),$$
  其中$R_n(x)$即为Taylor公式的$n$阶余项。由此求得
$$R_n(x)=\frac{1}{n!} \int_{x_0}^x f^{(n+1)}(t)(x-t)^ndt,$$
  这就是Taylor公式的积分型余项
  由于$f^{(n+1)}(t)$连续,$(x-t)^n$在$[x_0,x]$(或$[x,x_0]$)上保持同号,因此由推广的积分第一中值定理,可将上式写作
$$R_n(x)=\frac{1}{n!}f^{(n+1)}(\xi) \int_{x_0}^x (x-t)^ndt$$
$$=\frac{1}{(n+1)!}f^{(n+1)}(\xi)(x-x_0)^{n+1},$$
  其中$\xi=x_0+ \theta(x-x_0)$,$0 \le \theta \le 1$。这就是Largrange型余项。
  如果直接用积分第一中值定理于上式,则得
$$R_n(x)=\frac{1}{n!}f^{(n+1)}(\xi)(x-\xi)^n(x-x_0),$$
$$\xi=x_0+ \theta(x-x_0),0 \le \theta \le 1。$$
  由于
$$(x-\xi)^n(x-x_0)=[x-x_0- \theta(x-x_0)]^n(x-x_0)$$
$$=(1-\theta)^n(x-x_0)^{n+1},$$
  因此又可进一步把$R_n(x)$改写为
$$R_n(x)=\frac{1}{n!}f^{(n+1)}(x_0+ \theta(x-x_0))(1- \theta)^n(x-x_0)^{n+1},$$
$$0 \le \theta \le 1。$$
  特别当$x_0=0$时,又有
$$R_n(x)=\frac{1}{n!}f^{(n+1)}(\theta x)(1- \theta)^nx^{n+1},0 \le \theta \le 1。$$
  公式称为Taylor公式的Cauchy型余项




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