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标题: 无穷小量阶的比较 [打印本页]

作者: castelu    时间: 2017-11-8 18:41
标题: 无穷小量阶的比较
  设当$x \to x_0$时,$f$与$g$均为无穷小量。
1、若$\lim\limits_{x \rightarrow x_0}\frac{f\left( x \right)}{g\left( x \right)}=0$,则称当$x \to x_0$时$f$为$g$的高阶无穷小量,或称$g$为$f$的低阶无穷小量,记作
$$f\left( x \right)=o\left( g\left( x \right) \right)\left( x \to x_0 \right)$$
  特别,$f$为当$x \to x_0$时的无穷小量记作
$$f\left( x \right)=o\left( 1 \right)\left( x \to x_0 \right)$$

2、若存在正数$K$和$L$,使得在某$U^\circ \left( x_0 \right)$上有
$$K \le \left| \frac{f\left( x \right)}{g\left( x \right)} \right| \le L,$$
  则称$f$与$g$为当$x \to x_0$时的同阶无穷小量。特别当
$$\lim\limits_{x \rightarrow x_0}\frac{f\left( x \right)}{g\left ( x \right)} = c\ne 0$$
  时,$f$与$g$必为同阶无穷小量。
  若无穷小量$f$与$g$满足关系式
$$\left| \frac{f\left( x \right)}{g\left( x \right)} \right| \le L,x \in U^\circ \left( x_0 \right),$$
  则记作
$$f\left( x \right) = O\left( g\left( x \right) \right)\left( x \to x_0 \right)$$
  特别,若$f$在某$U^\circ \left( x_0 \right)$内有界,则记为
$$f\left( x \right) = O\left( 1 \right)\left( x \to x_0 \right)$$

 等式$f\left( x \right) = o\left( g\left( x \right) \right)(x \rightarrow x_0)$与$f\left( x \right) = O\left( g\left( x \right) \right)\left( x \to x_0 \right)$等,与通常等式的含义是不同的。这里等式左边是一个函数,右边是一个函数类,而中间的等号的含义是“属于”。

3、若$\lim\limits_{x \rightarrow x_0}\frac{f\left( x \right)}{g\left( x \right)} = 1$,则称$f$与$g$是当$x \to x_0$时的等价无穷小量。记作
$$f\left( x \right) \sim g\left( x \right)\left( x \to x_0 \right)$$




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