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标题: 蓝以中下册 带度量的线性空间 40页 习题二13 解答 [打印本页]

作者: castelu    时间: 2016-7-17 17:40
标题: 蓝以中下册 带度量的线性空间 40页 习题二13 解答
习题二13:
  设$A$是$n$维欧式空间$V$中的一个线性变换,如果
$$A^*=-A$$
  即对任意
$$\alpha,\beta \in V$$
  有
$$(A\alpha,\beta)=-(\alpha,A\beta)$$
  则称$A$是一个反对称变换。证明:
(1)$A$为反对称变换的充分必要条件是:$A$在某一组标准正交基下的矩阵是反对称矩阵;
(2)如果$M$是反对称变换$A$的不变子空间,则$M$的正交补$M^{\bot}$也是$A$的不变子空间。



解:
(1)必要性
  设$A$是反对称线性变换
$$\epsilon_1,\epsilon_2,\cdots,\epsilon_n$$
  是$V$的一组标准正交基
  且$A$在基
$$\epsilon_1,\epsilon_2,\cdots,\epsilon_n$$
  下的矩阵为$K=(k_{ij})$,则有
$$A\epsilon_1=k_{i1}\epsilon_1+k_{i2}\epsilon_2+\cdots+k_{in}\epsilon_n,i=1,2,\cdots,n$$
$$(A\epsilon_i,\epsilon_j)=k_{ij},(A\epsilon_j,\epsilon_i)=k_{ji}$$
  由反对称知
$$(A\epsilon_i,\epsilon_j)=-(\epsilon_i,A\epsilon_j),k_{ij}=-k_{ji}$$
  从而
$$k_{ij}=\left\{ \begin{array}{l}
0,i=j\\
-k_{ji},i \ne j
\end{array} \right.,i,j=1,2,\cdots,n$$
  则
$$(A\epsilon_1,A\epsilon_2,\cdots,A\epsilon_n)=(\epsilon_1,\epsilon_2,\cdots,\epsilon_n)\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{0}&{k_{12}}&{\cdots}&{k_{1n}}\\
{-k_{12}}&{0}&{\cdots}&{k_{2n}}\\
{\vdots}&{\vdots}&{}&{\vdots}\\
{-k_{1n}}&{-k_{2n}}&{\cdots}&{0}
\end{array}} \right)$$
  充分性
  设$A$在标准正交基
$$\epsilon_1,\epsilon_2,\cdots,\epsilon_n$$
  下的矩阵是反对称矩阵,即
$$(A\epsilon_j,\epsilon_j)=-(\epsilon_i,A\epsilon_j)$$
  对任意
$$\alpha,\beta \in V$$
  有
$$\alpha=a_1\epsilon_1+a_2\epsilon_2+\cdots+a_n\epsilon_n$$
$$\beta=b_1\epsilon_1+b_2\epsilon_2+\cdots+b_n\epsilon_n$$
  于是
$$\begin{eqnarray*}
(A\alpha,\beta)&=&(a_1A\epsilon_1+\cdots+a_nA\epsilon_n,b_1\epsilon_1+\cdots+b_n\epsilon_n)\\
&=&\sum\limits_{i,j}a_ib_j(A\epsilon_i,\epsilon_j)=-\sum\limits_{i,j}a_ib_j(\epsilon_i,A\epsilon_j)\\
&=&-(a_1\epsilon_1+\cdots+a_n\epsilon_n,b_1A\epsilon_1+\cdots+b_nA\epsilon_n)\\
&=&-(\alpha,A\beta)
\end{eqnarray*}$$
  故$A$为反对称线性变换。
(2)任取
$$\alpha \in M^{\bot}$$
  任取
$$\beta \in V$$
  由于$M$是$V$的不变子空间,所以
$$A\beta \in M$$
  而
$$\alpha \in M^{\bot}$$
  所以
$$(\alpha,A\beta)=0$$
  再由题设$A$是反对称的,知
$$(A\alpha,\beta)=-(\alpha,A\beta)=0$$
  由$\beta$的任意性,即证得
$$A\alpha \in M^{\bot}$$
  从而$M^{\bot}$是$A$的不变子空间。




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