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标题: 蓝以中上册 双线性函数与二次型 365页 习题三4 解答 [打印本页]

作者: castelu    时间: 2016-7-1 23:59
标题: 蓝以中上册 双线性函数与二次型 365页 习题三4 解答
习题三4:
  设
$$f=X'AX=\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^na_{ij}x_ix_j(a_{ij}=a_{ji})$$
  是一个实二次型。若存在$n$维实向量$X_1$与$X_2$,使
$$X'_1AX_1>0,X'_2AX_2<0$$
  证明:必存在$n$维实向量$X_0 \ne 0$,使
$$X'_0AX_0=0$$



解法1:
  设$A$的秩为$r$,作实非退化线性替换
$$X=CY$$
  将$f$化为规范形
$$f(x_1,x_2,\cdots,x_n)=X'AX=y_1^2+\cdots+y_p^2-y_{p+1}^2-\cdots-y_{p+q}^2(r=p+q)$$
  由于存在两个向量
$$X_1,X_2$$
  使
$$X'_1AX_1>0,X'_2AX_2<0$$
  从而可得
$$p>0.q>0$$
  令
$$y_1=y_{p+1}=1,y_2=\cdots=y_p=y_{p+q}=0$$
  取$n$维列向量
$$X_0=C\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{1^{(1)}}\\
{0}\\
{\vdots}\\
{0}\\
{1^{(p+1)}}\\
{0}\\
{\cdots}\\
{0}
\end{array}} \right)$$
  由于
$$X=CY$$
  非退化,故
$$X_0 \ne 0$$
  且有
$$f=X'_0AX_0=0$$



解法2:
  二次型展开后是二次齐次多项式,它是多元连续函数
  由于存在$n$维实向量$X_1$与$X_2$,使
$$X'_1A_1X>0,X'_2AX_2<0$$
  根据多元函数介值定理
  必存在$n$维实向量$X_0 \ne 0$,使
$$X'_0AX_0=0$$




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