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标题: 蓝以中上册 线性空间与线性变换 297页 习题三19 解答 [打印本页]

作者: castelu    时间: 2016-6-5 21:13
标题: 蓝以中上册 线性空间与线性变换 297页 习题三19 解答
习题三19:
  设$V$为数域$K$上的线性空间。$A_1,A_2,\cdots,A_k$是$V$内$k$个两两不同的线性变换。证明$V$内存在向量$\alpha$,使$A_1\alpha,A_2\alpha,\cdots,A_k\alpha$两两不同。



解:
  记
$$V_{ij}=\left\{\alpha|\alpha \in V, A_i\alpha=A_j\alpha\right\}(i,j=1,2,\cdots,k)$$
  由于
$$A_i0=A_j0=0$$
  即
$$0 \in V_{ij}$$
  故$V_{ij}$非空
  又因为
$$A_1,A_2,\cdots,A_k$$
  两两不同
  所以对于任意两个$A_i,A_j(i \ne j)$,总存在一向量$\beta$,使
$$A_i\beta \ne A_j\beta$$
  否则,若对任一$\beta \in V$都有
$$A_i\beta=A_j\beta$$
  则得$A_i=A_j$,这与题设矛盾,所以$V_{ij}$是$V$的真子集
  设$\alpha,\beta \in V_{ij}$
  有
$$A_i\alpha=A_j\alpha,A_i\beta=A_j\beta$$
  所以
$$A_i(\alpha+\beta)=A_j(\alpha+\beta)$$
  即
$$\alpha+\beta \in V_{ij}$$
  又
$$A_i(k\alpha)=kA_i\alpha=kA_j\alpha=A_j(k\alpha)$$
  即
$$k\alpha \in V_{ij}$$
  故$V_{ij}$是$V$的真子空间。
(1)如果$V_{ij}$都是$V$的非平凡子空间
  则由《蓝以中上册 线性空间与线性变换 268页 习题二8 解答》
  在$V$中至少有一向量不属于所有的$V_{ij}$
  设$\alpha \notin V_{ij}$,则
$$A_i\alpha \ne A_j\alpha(i,j=1,2,\cdots,k)$$
  即存在$V$中向量$\alpha$,使得
$$A_1\alpha,A_2\alpha,\cdots,A_k\alpha$$
  两两不同。
(2)如果$V_{ij}$中有$V$的平凡子空间$V_{i0j0}$
  则$V_{i0j0}$只能是零空间
  对于这种$V_{i0j0}$,只要取$\alpha \ne 0$,就有
$$A_i\alpha \ne A_j\alpha$$
  故这样的$V_{i0j0}$可以去掉
  考虑其余的非平凡子空间,问题归于(1)
  即可知存在向量$\alpha$,使得
$$A_1\alpha,A_2\alpha,\cdots,A_k\alpha$$
  两两不同。




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