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标题: 蓝以中上册 线性空间与线性变换 268页 习题二8 解答 [打印本页]

作者: castelu    时间: 2016-5-25 18:14
标题: 蓝以中上册 线性空间与线性变换 268页 习题二8 解答
习题二8:
  设$M$是数域$K$上线性空间$V$的子空间,如果$M \ne V$,则$M$称为$V$的真子空间。证明$V$的有限个真子空间的并集不能填满$V$。



解:
  设
$$V_1,V_2,\cdots,V_s$$
  是线性空间$V$的$s$个真子空间
  只需证明:$V$中至少有一向量不属于
$$V_1,V_2,\cdots,V_s$$
  中任何一个
  就有$V$的有限个真子空间的并集不能填满$V$
  若
$$V_1,V_2,\cdots,V_s$$
  都是零空间,显然
$$\forall \alpha \ne 0$$
  $\alpha$就是需要找的向量
  故不妨假设
$$V_1,V_2,\cdots,V_s$$
  都是非平凡子空间
  应用数学归纳法证明
  当$s=2$时
  因$V_1,V_2$为非平凡子空间,故存在
$$\alpha \notin V_1$$
  如果
$$\alpha \notin V_2$$
  则命题已证
  若
$$\alpha \in V_2$$
  另外存在
$$\beta \notin V_2$$
  如果
$$\beta \notin V_1$$
  则得证
  若
$$\beta \in V_1$$
  即
$$\alpha \notin V_1,\alpha \in V_2$$
  及
$$\beta \in V_1,\beta \notin V_2$$
  可得
$$\alpha+\beta \notin V_1,V_2$$
  事实上,若
$$\alpha+\beta \in V_1$$
  又
$$\beta \in V_1$$
  则必定
$$\alpha \in V_1$$
  这与假设矛盾,故
$$\alpha+\beta \in V_1$$
  同理可证
$$\alpha+\beta \notin V_2$$
  结论成立
  假定对于$s-1$结论成立
  那么对于$s$个子空间
$$V_1,V_2,\cdots,V_s$$
  至少存在$V$中一个向量
$$\alpha \notin V_i,i=1,2,\cdots,s-1$$
  若
$$\alpha \notin V_s$$
  则结论成立
  若
$$\alpha \in V_s$$
  又由$V_s$是非平凡子空间知,存在$V$中一个向量
$$\beta \notin V_s$$
  于是向量
$$\alpha+\beta,\alpha+2\beta,\cdots,\alpha+s\beta$$
  中至少有一个不属于
$$V_1,V_2,\cdots,V_{s-1}$$
  的每一个
  否则,必有两个这样的向量运算同属于某个
$$V_i(1 \le i \le s-1)$$
  从而得出
$$\alpha \in V_i$$
  这与
$$\alpha \notin V_i,i=1,2,\cdots,s-1$$
  矛盾
  可设
$$\beta+m\alpha(1 \le m \le s)$$
  不属于
$$V_1,V_2,\cdots,V_{s-1}$$
  中的每一个
  又由
$$\alpha \in V$$
  以及
$$\beta \notin V$$
  知
$$\beta+m\alpha \notin V$$
  所以$V$中至少有一个向量
$$\beta+m\alpha$$
  不属于
$$V_1,V_2,\cdots,V_s$$
  中任何一个。




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