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标题: 裴礼文 级数 476页 练习5.1.11 解答 [打印本页]

作者: castelu    时间: 2016-4-20 23:58
标题: 裴礼文 级数 476页 练习5.1.11 解答
练习5.1.11:

  证明:若$a_n>0$,$a_n \searrow 0$,则$\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n$与$\sum\limits_{m=1}^{\infty}p_m2^{-m}$($p_m=\max\left\{n;a_n \ge 2^{-m}\right\}$)同时敛散。($Lobachevsky$判别法)



解:
  由
$$\begin{eqnarray*}
\sum\limits_{k=1}^mp_k2^{-k}&=&\sum\limits_{k=1}^mp_k\left(\frac{1}{2^{k-1}}-\frac{1}{2^k}\right)\\
&=&\sum\limits_{k=0}^{m-1}\frac{p_{k+1}}{2^k}-\sum\limits_{k=1}^m\frac{p_k}{2^k}\\
&=&p_0-\frac{p^m}{2^m}+\sum\limits_{k=1}^{m-1}\frac{p_{k+1}-p_k}{2^k}\\
&=&p_0-\frac{p^m}{2^m}+2\sum\limits_{k=1}^{m-1}(p_{k+1}-p_k)2^{-(k+1)}\\
&\le&p_0+2\sum\limits_{k=1}^{m-1}(p_{k+1}-p_k)a_{p_{k+1}}\\
&\le&p_0+2\sum\limits_{k=1}^{m-1}(a_{p_{k}+1}+\cdots+a_{p_{k+1}})\\
&=&p_0+2(a_{p_{1}+1}+a_{p_{1}+2}+\cdots+a_{p_{m}})
\end{eqnarray*}$$
  知若$\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n$收敛,则$\sum\limits_{m=1}^{\infty}p_m2^{-m}$也收敛;若$\sum\limits_{m=1}^{\infty}p_m2^{-m}$发散,则$\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n$也发散。
  又由
$$\begin{eqnarray*}
\sum\limits_{k=1}^mp_k2^{-k}&=&\sum\limits_{k=1}^mp_k\left(\frac{1}{2^{k-1}}-\frac{1}{2^k}\right)\\
&=&\sum\limits_{k=0}^{m-1}\frac{p_{k+1}}{2^k}-\sum\limits_{k=1}^m\frac{p_k}{2^k}\\
&=&p_0-\frac{p^m}{2^m}+\sum\limits_{k=1}^{m-1}\frac{p_{k+1}-p_k}{2^k}\\
&=&p_0-\frac{p^m}{2^m}+2\sum\limits_{k=1}^{m-1}(p_{k+1}-p_k)2^{-(k+1)}\\
&>&p_0-\frac{p^m}{2^m}+2\sum\limits_{k=1}^{m-1}(p_{k+1}-p_k)a_{p_{k+1}+1}\\
&\ge&p_0-\frac{p^m}{2^m}+2\sum\limits_{k=1}^{m-1}(a_{p_{k}+2}+\cdots+a_{p_{k+1}+1})\\
&=&p_0-\frac{p^m}{2^m}+2(a_{p_{1}+2}+a_{p_{1}+3}+\cdots+a_{p_{m}+1})
\end{eqnarray*}$$
  知若$\sum\limits_{m=1}^{\infty}p_m2^{-m}$收敛,则$\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n$也收敛;若$\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n$发散,则$\sum\limits_{m=1}^{\infty}p_m2^{-m}$也发散。




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