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标题: 一道证明题目 [打印本页]

作者: 永恒的riemann 时间: 2014-8-15 23:52
标题: 一道证明题目
本帖最后由永恒的riemann 于 2014-8-15 23:52 编辑

证明
$\int_{0}^{\infty}$${{x}^{-x}dx}$$<2$.

作者: castelu 时间: 2014-8-16 19:12
这题的上界给得过于严格了，利用Mathematica求出数值积分：
$$\int_0^{+\infty} x^{-x}{\rm d}x=1.99546...$$

下面给出的方法都没有证明出结果，得到一个大致的范围：

方法一：
$$\int_0^{+\infty} x^{-x}{\rm d}x=\int_0^{+\infty} e^{-x\ln x}{\rm d}x<\int_0^{+\infty} e^{-(x-1)}{\rm d}x=e$$
（利用$\ln x>\frac{x-1}{x}$，$x \in (0,+\infty)$）

方法二：
$$\int_0^{+\infty} x^{-x}{\rm d}x=\int_0^1 x^{-x}{\rm d}x+\int_1^{+\infty} x^{-x}{\rm d}x=\int_0^1 x^{-x}{\rm d}x+\int_0^1 x^{\frac{1}{x}-2}{\rm d}x=\int_0^1 \left( x^{-x}+x^{\frac{1}{x}-2} \right){\rm d}x$$
（利用拆分区间和倒数换元）

方法三：
利用泰勒公式，由于
$$x^{-x}=1-x\ln x+\frac{1}{2}x^2\ln^2 x-\frac{1}{6}x^3\ln^3 x+\cdots$$
$$\int_0^1 (x\ln x)^n{\rm d}x=\frac{(-1)^nn!}{(n+1)^{n+1}}$$
$$\int_0^1 x^{-x}{\rm d}x=\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^n}{\rm d}x$$
然后让截断处的分子为$2$，就得到过剩近似值，这个数列收敛太快了，取前面一部分，就可以得到很精确的值了，后面一个积分还没做出

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