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标题: 关于傅立叶级数的 [打印本页]

作者: 792336434 时间: 2014-6-4 21:17
标题: 关于傅立叶级数的
本帖最后由 792336434 于 2014-6-4 21:18 编辑

如何用傅立叶级数求这个级数的值

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作者: castelu 时间: 2014-6-4 23:47
将函数$f\left( x \right) = \left| x \right|$（$-\pi \le x \le \pi$）展开成Fourier级数
$$f(x)=\frac{\pi}{2}-\frac{4}{\pi }\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{(2n-1)^2} \cos (2n-1)x$$
取$x=0$得：
$$\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{(2n-1)^2}=\frac{\pi ^2}{8}$$
$$\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}=\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{(2n)^2}+\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{(2n-1)^2}=\frac{1}{4}\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}+\frac{\pi^2}{8}$$
$$\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}$$

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