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标题: 一道积分题，求其一般解法和复变解法 [打印本页]

作者: Ludwig1994 时间: 2012-6-20 20:28
标题: 一道积分题，求其一般解法和复变解法
本帖最后由 Ludwig1994 于 2012-6-21 22:07 编辑

$\int ln(x^2+1)dx$

作者: castelu 时间: 2012-6-20 20:34
一般解法：
令$x=\tan t$，
$$\int \ln (x^2+1){\rm d}x$$
$$=\int \ln (\sec^2 t){\rm d} \tan t$$
$$=\tan t \ln \sec^2 t-2 \int \tan^2 t{\rm d}t$$
$$=\tan t \ln \sec^2 t-2 \int (sec^2-1){\rm d}t$$
$$=\tan t \ln \sec^2 t-2 \tan t+2t+C$$

将$t=\arctan x$代回，得到：
$$\tan t \ln \sec^2 t-2\tan t+2t+C$$
$$=x\ln (x^2+1)-2x+2\tan x+C$$

作者: Ludwig1994 时间: 2012-6-21 23:00
将卡斯先生的解题整理得到这个

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