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标题: 活而不难的初中题 [打印本页]

作者: 里亦维奇 时间: 2009-8-1 22:16
标题: 活而不难的初中题
如图，△ABC内接于圆O，AD是直径，E是BC延长线上一点，且ED是圆O的切线，连接EO并延长，分别交AC,AB于F,G,求证：OF=OG.
(期待多解……)

作者: 战巡 时间: 2009-8-1 23:30

如图，△ABC内接于圆O，AD是直径，E是BC延长线上一点，且ED是圆O的切线，连接EO并延长，分别交AC,AB于F,G,求证：OF=OG.
(期待多解……)
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里亦维奇发表于 2009-8-1 22:16

如图：所有辅助线如图所示
不妨仿照蝴蝶定理的正法，用正弦定理试试
由正弦定理得
HF/sinFCH=HC/sinHFC
FO/sinFAO=AO/sinAFO
相除化简得到
HF/FO=(sinFCH*HC)/(sinFAO*AO)
同理有
IG/GO=(sinGBI*IB)/(sinGAO*AO)
这两式相除得到
(HF/FO)/(IG/GO)=(sinGAO/sinFAO)*(sinFCH/sinGBI)*(HC/IB)
其中sinGAO/sinFAO=BD/CD，sinFCH/sinGBI=AH/AI=ID/HD
而易证△EHC∽△EBI，HC/IB=EC/EI
△ECD∽△EBD，BD/CD=ED/EC
△EHD∽△EID，ID/HD=EI/ED
带入可得
(HF/FO)/(IG/GO)=(ED/EC)(EI/ED)(EC/EI)=1
HF/FO=IG/GO
两边加1得到
HO/FO=IO/GO，而HO=IO，因此FO=GO

ln.jpg (15.9 KB, 下载次数: 100)

作者: qtstc 时间: 2009-8-2 16:49
很想看到不用三角函数的解法

作者: 麦田小羊 时间: 2009-8-2 17:25
强大的解法

作者: 石崇的BOSS 时间: 2009-8-3 21:22
初中的方法：

作者: xz5024 时间: 2009-8-3 21:38
look look

作者: qtstc 时间: 2009-8-3 21:49
BOSS很强大,期待看到套用蝴蝶定理的解法

作者: 石崇的BOSS 时间: 2009-8-3 22:01
7# qtstc
我曾经想过用蝴蝶定理证明，但需要证明三点共线，这恰恰是我的弱项，所以等高人指点，期待中……

作者: 石崇的BOSS 时间: 2009-8-3 22:20
2# 战巡
sinFCH/sinGBI=AH/AI这一步是怎么来的？

作者: 战巡 时间: 2009-8-3 22:51

2# 战巡
sinFCH/sinGBI=AH/AI这一步是怎么来的？
石崇的BOSS 发表于 2009-8-3 22:20

正弦定理啊
△ACH中，AH/sinFCH=d
△ABI中，AI/sinGBI=d

作者: 难道 时间: 2009-8-4 13:26
5# 石崇的BOSS

作者: 石崇的BOSS 时间: 2009-8-4 23:22
10# 战巡
哦，明白了……

作者: xuan2009 时间: 2009-8-5 09:43
蝴蝶定理？

作者: 948267072 时间: 2009-8-14 08:56
是用的全等？

作者: 948267072 时间: 2009-8-14 09:00
证明OAF全等于OGD
一边，一个对顶角
再证明AC平行于DG（还没证出来）

作者: 石崇的BOSS 时间: 2009-8-14 20:51

证明OAF全等于OGD
一边，一个对顶角
再证明AC平行于DG（还没证出来）
948267072 发表于 2009-8-14 09:00

关键就是那个平行，是证明不出来的

作者: 战巡 时间: 2009-8-14 21:08
我以前碰到的那个题是要求证明四边形AFDG为平行四边形.....

作者: love_ruo 时间: 2009-8-14 22:28
我是来围观答案的

作者: appletree444 时间: 2009-8-23 17:34
have a look.

作者: appletree444 时间: 2009-8-23 17:39
真精彩！

作者: zhangkunyuan 时间: 2009-10-1 16:42
看看哈

作者: 无无无 时间: 2009-11-4 13:05
我想看答案

作者: dannycai 时间: 2010-2-5 17:35
look，look

作者: qtstc 时间: 2010-2-6 18:39
这题目自从在这看过以后，又在别的地方至少看过了3遍。。。

作者: 5601706 时间: 2010-6-5 00:17
徐徐下部

作者: zhangyuong 时间: 2010-6-6 17:49
这个可是经典难题，千万别小看这题

作者: jyc06 时间: 2010-6-6 20:29
期待解几政法

作者: jjjj12 时间: 2010-10-23 21:45
我来看看

作者: fclfd 时间: 2010-10-24 11:37
看看,学习咯

作者: styyq 时间: 2011-3-30 12:33
看看......

作者: 石崇的BOSS 时间: 2011-4-3 19:16
呵呵，另一个初中方法：
作DH⊥EG于H，连接CH，BH，CO，BO，CD，FD，
由射影定理得出ED[sup]2[/sup]=EH*EO，又由圆幂定理有ED[sup]2[/sup]=EC*EB，
故EH*EO=EC*EB，因此H,C,B,O四点共圆，故∠CHB=∠COB=2∠CAG，
又∠EHC=∠OBC=∠OCB=∠OHB，而DH⊥EG，所以∠CHD=∠BHD，
因为∠ACD=∠EHD=90°，故F,C,D,H四点共圆，因此∠CFD=∠CHD=∠CHB/2=∠COB/2=∠CAG，
由此得出DF//AG，由AO=OD，故得出△AOG≌△DOF，从而有OF=OG.

作者: jankingyu 时间: 2011-4-16 00:03
比上次那个题目简单很多 {:9_148:}

未命名.jpg (77.74 KB, 下载次数: 75)

作者: jankingyu 时间: 2011-4-18 11:26
后面等于0的那步多写了个k。

作者: 兔八哥爱智慧 时间: 2012-4-5 19:12
Let me have a look.

作者: surpass 时间: 2012-6-30 07:49
什么方法？

作者: 韵馨。Narl 时间: 2012-8-1 22:27
感觉不是很难。

作者: kuafuzhuiri 时间: 2012-8-22 19:38
见识一下。。

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