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标题: 等价无穷小证明 [打印本页]

作者: EMP震荡波 时间: 2009-7-25 15:52
标题: 等价无穷小证明
怎么证明[sup]n[/sup]√（1+x）-1~x/n（x→0）

作者: 战巡 时间: 2009-7-25 19:21
$\\displaystyle \\frac{(1+x)^{\\frac{1}{n}}-1}{\\frac{x}{n}}$

$\\displaystyle =\\frac{((1+x)^{\\frac{1}{n}}-1)((1+x)^{\\frac{n-1}{n}}+(1+x)^{\\frac{n-2}{n}}+...+1)}{\\frac{x}{n}((1+x)^{\\frac{n-1}{n}}+(1+x)^{\\frac{n-2}{n}}+...+1)}$

$\\displaystyle =\\frac{1+x-1}{\\frac{x}{n}((1+x)^{\\frac{n-1}{n}}+(1+x)^{\\frac{n-2}{n}}+...+1)}$

$\\displaystyle =\\frac{n}{(1+x)^{\\frac{n-1}{n}}+(1+x)^{\\frac{n-2}{n}}+...+1}$
当x趋于0时，下面趋于n
因此原式趋于1

作者: EMP震荡波 时间: 2009-7-25 20:33
其实我想知道的是上面第2个等号怎么来的
我在书上看到的证明过程也是这个

作者: 战巡 时间: 2009-7-25 23:08
$\\displaystyle a^b-1=(a-1)(a^{b-1}+a^{b-2}+...+1)$

作者: EMP震荡波 时间: 2009-7-26 11:18
明白了

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