证等边三角形

qtstc

以三角形BCE的三条边分别向外做等边三角形ABC,DCE,BEF.他们的重心分别为M,P,N,连接MP,MN,PN,求证三角形MPN为等边三角形
这是初三书上的题目,所以请不要用解析几何来做,谢谢了.

战巡

以三角形BCE的三条边分别向外做等边三角形ABC,DCE,BEF.他们的重心分别为M,P,N,连接MP,MN,PN,求证三角形MPN为等边三角形
这是初三书上的题目,所以请不要用解析几何来做,谢谢了.
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qtstc 发表于 2009-7-19 21:10

呵呵，拿破仑三角啊.....

如图，作△BCE的费马点G，然后那些连线如图....
费马点G，因此有∠CGB=∠CGE=∠BGE=120，
而且有A、B、G、C共圆，D、C、G、E共圆，F、B、G、E共圆，M、P、N分别为圆心
这样就有MB=MC=MG，PC=PE=PG，NB=NE=NG
然后MB=MG，NB=NG，MN=MN可得△BMN≌△GMN，∠BMN=∠GMN=∠BMG/2
同理有△MCP≌△MGP，∠CMP=∠GMP=∠CMG/2
这样有∠NMP=∠NMG+∠PMG=∠BMG/2+∠CMG/2=∠BMC/2=60
同理可得∠MPN=60，∠MNP=60
因此△MNP为正三角形

qtstc

谢谢,查了下百科,方法差不多,顺便贴上来
设三角形ABC对应边外的正三角形的中心分别为D，E，F，
　　则：∠FAB=∠FBA=∠DBC=∠DCB=∠EAC=∠ECA=30
　　在多边形AFBDCE中作一点G,使AG=AF,GE=DC,
　　连GF,GA,GE,
　　因△ABF,△BCD,△ACE均为底角等于30度的等腰三角形,
　　所以:△ABF∽△BCD∽△ACE
　　AF/AB=AE/AC=DC/BC
　　而AG=AF,GE=DC
　　所以,AG/AB=AE/AC=GE/BC,
　　△AGE∽△ABC
　　∠GAE=∠BAC,∠AGE=∠ABC
　　∠FAG=∠EAF-∠GAE=∠EAF-∠BAC=60
　　△AGF为等边三角形
　　AG=AF, ∠AGF=60,
　　在△FBD和△FGE中，
　　FB=FG, BD=GE, ∠FBD=∠FGE
　　△FBD≌△FGE, (s.a.s)
　　FD=FE
　　同理可证:FD=DE
　　则 △DEF为等边三角形

突然发现还是有区别的,这里面的G点并不是费马点