问:怎么证明√2是无理数

泡面

记得以前在教材上看到过，忘记了


我自己试证了一下，但是有不止一点问题
证明：用反证法。
          假设√2不是无理数。
          ∵√2没有虚部，∴√2不是复数，∴√2是有理数
         1^2=1,2^2=4,(√2)^2=2
         1^2＜(√2)^2＜2^2
         ∴√2不是整数
         ………………………………∴√2不是有限小数，∴√2是无限循环小数
        设√2=1+A，即A为√2的小数部分
                   .                  .            ＿＿＿＿＿＿＿
        设A=0.a1a2a3……an  ,  a=a1a2a3……an   ，n,a∈N+
        10^n xA-A=a
        →A=a/（10^n-1）①
        (1+A)^2=2→A^2+2A-1=0
        把①带入解得a=-(10^n-1)+√[10^n(10^n-1)]②
        把② 带入①得A=-1+√[10^n/(10^n-1)]
        再带入1+A=√2整理得10^n=2   对于n∈N+不成立
        所以√2不是无限循环小数
        所以√2不是有理数
        与题意矛盾
        所以√2是无理数。


         就是 ………………………………这个地方证√2不是有限小数不会证了
        高手看看怎么做吧
      我也想看看标准解法

670330219

不会……

kuing

可以证明任意非平方整数的平方根为无理数。

wlx

Hey, I tell you.
Proof by contradiction
Firstly, you know an irrational number cannot be written in the fraction form, so
Assume √2 =p/q , where p and q don’t have a common factor.
Square both side, you got:
2= p^2/q^2
Rearrange, 2q^2=p^2
This means p^2  is an even number,  you know if p^2 is an even number , then p must be an even number as well, so rewrite p as 2n.
Therefore 2q^2=4n^2
Simplify this you get q^2=2n^2
This means q^2  is an even number,   if q^2 is an even number , then q must be an even number as well, so q can be written as 2m.
Thus √2 =2n/2m , where top and bottom share a common factor of 2, aha! This is contradictory to our original assumption.
Proof by contradiction, you see…

泡面

不懂这些数学名词
不过还是谢谢LS了

xyj0415

反证法
假设√2是有理数，设√2=p/q，p，q为整数，且p,q互质。
两边平方，移项，得2*q^2=p^2
所以p为偶数，p^2能整除4.
设p=2k(k为整数)，原式转为 q^2=2*k^2
同理，q也为偶数，与p,q互质矛盾
所以，√2为无理数

castelu

6楼的解法比较容易理解