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对$R^n$中$n$个向量$v_1$,$v_2$,$\cdots$,$v_n$,定义外积
$$(v_1,v_2,\cdots,v_n) \to v_1 \wedge v_2 \wedge \cdots \wedge v_n \in R,$$
要求它具有下列性质:
(i)乘法线性:按每个变量都是线性的。
(ii)反交错性:若对某对$i$,$j$使$v_i=v_i$($i \ne j$),则$v_1 \wedge v_2 \wedge \cdots \wedge v_n=0$;若在外积中交换两个向量的位置,则外积改变符号:
$$v_i \wedge \cdots \wedge v_i \wedge \cdots \wedge v_j \wedge \cdots \wedge v_n$$
$$=-v_i \wedge \cdots \wedge v_j \wedge \cdots \wedge v_i \wedge \cdots \wedge v_n。$$
(iii)规范性:$e_1 \wedge e_2 \wedge \cdots \wedge e_n=1$,其中$\mathop {\left\{e_i \right\}}\limits_{i=1}^n$是$R^n$中标准基。
若$v_i=a_{i1}e_1+\cdots+a_{in}e_n$,我们将证明$v_1 \wedge v_2 \wedge \cdots \wedge v_n$即为矩阵$(a_{ij})$的行列式。
事实上,
$$v_1 \wedge \cdots \wedge v_n=(a_{11}e_1+a_{12}e_2+\cdots+a_{1n}e_n) \wedge \cdots \wedge (a_{n1}e_1+a_{n2}e_2+\cdots+a_{nn}e_n)$$
$$=\sum\limits_r a_1,_{\tau(1)}e_{\tau(1)} \wedge \cdots \wedge a_n,_{\tau(n)}e_{\tau(n)}$$
$$=\sum\limits_r a_1,_{\tau(1)} \cdots a_n,_{\tau(n)}e_{\tau_1} \wedge \cdots \wedge e_{\tau(n)},$$
其中$\tau$是($1,2,\cdots,n$)的置换,求和是在所有置换上进行的。由于反交错性
$$e_{r(1)} \wedge e_{r(2)} \wedge \cdots \wedge e_{r(n)}=\epsilon(\tau) e_1 \wedge e_2 \wedge \cdots \wedge e_n=\epsilon(\tau),$$
当$\tau$为偶置换时$\epsilon(\tau)=1$,当$\tau$为奇置换时$\epsilon(\tau)=-1$,于是有
$$v_1 \wedge v_2 \wedge \cdots \wedge v_n=\det (a_{ij})。$$ |
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