定积分的近似计算

castelu

　　利用Newton-Leibniz公式虽然可以精确地计算定积分的值，但它仅适用于被积函数的原函数能够求得的情形。如果这点办不到或者不容易办到，这就要考虑近似计算的方法。在定积分的很多应用问题中，被积函数甚至没有解析表达式（只是一条实验记录曲线，或者是一组离散的采样值），这时只能采用近似方法去计算相应的定积分。
　　其实，根据定积分的定义，每一个积分和都可看做是定积分的一个近似值，
　　例如
$$\int_a^b f(x)dx \approx \sum\limits_{i=1}^nf(x_i) \Delta x_i（或\sum\limits_{i=1}^nf(x_{i-1}) \Delta x_i）。$$
　　在几何意义上，这是用一系列小矩形面积来近似小曲边梯形面积的结果。所以把这个近似算法称为矩形法。不过，只有当积分区间被分割得很细很细时，矩形法才有一定的精确度。
　　如果在分割的每个小区间上采用一次或二次多项式来近似替代被积函数，那么可以期望获得比矩形法效果好得多的近似计算公式。下面的梯形法和抛物线法就是这一想法的产物。

一、梯形法
　　将积分区间$[a,b]$作$n$等分，分点依次为
$$a=x_0<x_1<x_2< \cdots <x_n=b，\Delta x_i=\frac{b-a}{n}。$$
　　相应的被积函数值记为
$$y_0,y_1,y_2,\cdots,y_n（y_i=f(x_i),i=0,1,2,\cdots,n）。$$
　　并记曲线$y=f(x)$上相应的点为
$$P_0,P_1,P_2,\cdots,P_n（P_i(x_i,y_i),i=0,1,2,\cdots,n）。$$
　　将曲线上每一段弧$\widehat (P_{i-1}P_i)$用弦$\overline (P_{i-1}P_i)$来替代，这使得每一个小区间$[x_{i-1},x_i]$上的曲边梯形换成了真正的梯形，其面积为
$$\frac{y_{i-1}+y_i}{2} \Delta x_i，i=1,2,\cdots,n。$$
　　于是，各个小梯形面积之和就是曲边梯形面积的近似值，即
$$\int_a^b f(x)dx \approx \sum\limits_{i=1}^n \frac{y_{i-1}+y_i}{2} \Delta x_i，$$
　　亦即
$$\int_a^b f(x)dx \approx \frac{b-a}{n}(\frac{y_0}{2}+y_1+y_2+\cdots+y_{n-1}+\frac{y_n}{2})。$$
称此近似式为定积分的梯形法公式。

二、抛物线法
　　由梯形法求定积分的近似值，当$y=f(x)$为凸曲线时偏大，为凹曲线时偏小。如果每段曲线改用与它的凸性相接近的抛物线来近似时，就可减少上述缺点。下面介绍抛物线法。
　　将积分区间$[a,b]$作$2n$等分，分点依次为
$$a=x_0<x_1<x_2< \cdots <x_{2n}=b，\Delta x_i=\frac{b-a}{2n}。$$
　　对应的被积函数值为
$$y_0,y_1,y_2,\cdots,y_{2n}（y_i=f(x_i),i=0,1,2,\cdots,2n）。$$
　　曲线$y=f(x)$上的相应点为
$$P_0,P_1,P_2,\cdots,P_{2n}（P_i(x_i,y_i),i=0,1,2,\cdots,n）。$$
　　现把区间$[x_0,x_2]$上的曲线$y=f(x)$用通过三点
$$P_0(x_0,y_0)，P_1(x_1,y_1)，P_2(x_2,y_2)$$
　　的抛物线$p_1(x)=\alpha_1x^2+\beta_1x+\gamma_1$来近似替代，便有
$$\int_{x_0}^{x_2} f(x)dx \approx \int_{x_0}^{x_2} p_1(x)dx=\int_{x_0}^{x_2} (\alpha_1x^2+\beta_1x+\gamma_1)dx$$
$$=\frac{\alpha_1}{3}(x_2^3+x_0^3)+\frac{\beta}{2}(x_2^2-x_0^2)+\gamma_1(x_2-x_0)$$
$$=\frac{x_2-x_0}{6}[(\alpha_1x_0^2+\beta_1x_0+\gamma_1)+(\alpha_1x_2^2+\beta_1x_2+\gamma_1)+\alpha_1(x_0+x_2)^2+\beta_1(x_0+x_2)+4 \gamma_1]$$
$$=\frac{x_2-x_0}{6}(y_0+y_2+4y_1)=\frac{b-a}{6n}(y_0+4y_1+y_2)。$$
　　最末第二步的得来是利用了$x_0+x_2=2x_1$。
　　同样地，在$[x_{2i-2},x_{2i}]$上用$p_i(x)=\alpha_ix^2+\beta_ix+\gamma_i$替代曲线$y=f(x)$，将得到
$$\int_{x_{2i-2}}^{x_{2i}} f(x)dx \approx \int_{x_{2i-2}}^{x_{2i}} p_i(x)dx=\frac{b-a}{6n}(y_{2i-2}+4y_{2i-1}+y_{2i})。$$
　　最后，按$i=1,2,\cdots,n$把这些近似式相加，得到
$$\int_a^b f(x)dx=\sum\limits_{i=1}^n \int_{x_{2i-2}}^{x_{2i}} f(x)dx \approx \frac{b-a}{6n} \sum\limits_{i=1}^n(y_{2i-2}+4y_{2i-1}+y_{2i})，$$
　　即
$$\int_a^b f(x)dx \approx \frac{b-a}{6n}[y_0+y_{2n}+4(y_1+y_3+ \cdots +y_{2n-1})+2(y_2+y_4+ \cdots + y_{2n-2})]。$$
　　这就是抛物线法公式，也称为辛普森（Simpson）公式。