高阶导数

castelu

定义　若函数$f$的导函数$f'$在点$x_0$可导，则称$f'$在点$x_0$的导数为$f$在点$x_0$的二阶导数，记作$f''\left( x_0 \right)$，即
$$\lim\limits_{x \to x_0}\frac{f'\left( x \right)-f'\left( x_0 \right)}{x-x_0}=f''\left( x_0 \right)，$$
　　同时称$f$在点$x_0$为二阶可导。
　　若$f$在区间$I$上每一点都二阶可导，则得到一个定义在$I$上的二阶导函数，记作$f''\left( x \right)$，$x \in I$，或者简单记为$f''$。
　　一般地，可由$f$的$n-1$阶导函数定义$f$的$n$阶导函数（或简称$n$阶导数）。
　　二阶以及二阶以上的导数都称为高阶导数，函数$f$在点$x_0$处的$n$阶导数记作
$$f^{\left( n \right)}\left( x_0 \right)，\left. y^{\left( n \right)} \right|_{x=x_0}或\left. \frac{{\rm d}^ny}{{\rm d}x^n} \right|_{x=x_0}$$
　　相应地，$n$阶导函数记作
$$f^{\left( n \right)}，y^{\left( n \right)}或\frac{{\rm d}^ny}{{\rm d}x^n}。$$
　　这里$\frac{{\rm d}^ny}{{\rm d}x^n}$亦可写作为$\frac{{\rm d}^n}{{\rm d}x^n}y$，它是对$y$相继进行$n$次求导运算“$\frac{{\rm d}}{{\rm d}x}$”的结果。