左导数与右导数

castelu

定义　设函数$y=f(x)$在点$x_0$的某右邻域$[x_0,x_0 + \delta)$上有定义，若右极限
$$\lim\limits_{\Delta x \rightarrow 0^+}\frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim\limits_{\Delta x \rightarrow 0^+}\frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}(0 < \Delta x < \delta)$$
　　存在，则称该极限值为$f$在点$x_0$的右导数，记作$f'_+(x_0)$。
　　类似地，我们可定义左导数
$$f'_-(x_0) = \lim\limits_{\Delta x \rightarrow 0^-}\frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}(0 < \Delta x < \delta)。$$
　　右导数和左导数统称为单侧导数。
　　如同左、右极限与极限之间的关系，我们有

定理　若函数$y=f(x)$在点$x_0$的某邻域内有定义，则$f'(x_0)$存在的充要条件是$f'_+(x_0)$与$f'_-$$(x_0)$都存在，且
$$f'_+(x_0) = f'_-(x_0)。$$