讨论原函数存在与函数可积(小专题)

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一，函数可积与否
（1），若函数f(x)在[a,b]上可积，则f(x)在[a,b]上有界。（函数可积的必要条件）

（2），若函数f(x)在[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上可积。（函数可积的充分条件）

（3），若函数f(x)在[a,b]上有界，且只有有限个间断点(可以是第二类间断点)，则f(x)在[a,b]上可积。(函数可积的充分条件)


二，原函数存在与否
若函数f(x)是在[a,b]上连续的函数，则f(x)存在原函数。

注意：
(1),f(x)在区间[a,b]上，只要存在x。∈(a,b)是f(x)的第一类间断点，则函数f(x)不存在原函数。

(2),f(x)在区间[a,b]上，x。∈(a,b)是f(x)的第二类间断点，除x。外函数f(x)连续，则函数f(x)是否存在原函数还要具体分析(不一定存在)。
如：
f(x)=2xsin(1/x)-cos(1/x)，当x≠0
f(x)=0，当x=0
虽然f(x)在x=0处为间断点，但是其存在原函数，且原函数为
F(x)=x^2sin(1/x),当x≠0
F(x)=0,当x=0


这也说明一点：若函数f(x)在[a,b]内处处可导，其导数f'(x)在[a,b]内不一定连续。
结论：若该导函数不连续的话，间断点必定是第二类间断点。