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[已解决] 裴礼文 一元积分学 392页 练习4.4.2 解答

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发表于 2016-4-15 23:13:06 | 只看该作者 回帖奖励 |倒序浏览 |阅读模式
练习4.4.2:

  设$f(x)$在$[a,b]$上连续可微,$f(a)=0$。试证:
$$M^2 \le (b-a)\int_a^b f'^2(x)dx$$
  其中$M=\sup\limits_{a \le x \le b}|f(x)|$。



解:
$$\begin{eqnarray*}
M^2&=&|f(\xi)|^2(\xi \in [a,b])\\
&=&\left[\int_a^{\xi}f'(x)dx\right]^2\\
&\le&\int_a^{\xi}1^2dx\cdot\int_a^{\xi}f'^2(x)dx\\
&\le&(b-a)\int_a^bf'^2(x)dx
\end{eqnarray*}$$
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