裴礼文 一元积分学 366页 练习4.3.9 解答

castelu

练习4.3.9：

　　证明
$$\int_0^{\frac{\pi}{2}}t\left( \frac{\sin nt}{\sin t} \right)^4dt < \frac{\pi^2n^2}{4}$$

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解法1：
　　当
$$t \in \left[0,\frac{\pi}{2}\right]$$
　　时有
$$\begin{eqnarray*}
t^2\left(\frac{1}{\sin^4t}-\frac{1}{t^4}\right)&\le&\left(\frac{t}{\sin t}\right)^4-1\\
&\le&\left(\frac{\pi}{2}\right)^4-1=C
\end{eqnarray*}$$
　　那么
$$\begin{eqnarray*}
\int_0^{\frac{\pi}{2}}t\left(\frac{\sin nt}{\sin t}\right)^4dt&=&\int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{\sin^4 nt}{t^3}dt+\int_0^{\frac{\pi}{2}}t\sin^4nt\left(\frac{1}{\sin^4 t}-\frac{1}{t^4}\right)dt\\
&=&I_1+I_2
\end{eqnarray*}$$
　　其中
$$\begin{eqnarray*}
I_1&=&n^2\int_0^{\frac{n\pi}{2}}\frac{\sin^4t}{t^3}dt\\
&\le&n^2\int_0^{+\infty}\frac{\sin^4t}{t^3}dt\\
&=&\frac{n^2}{4}\int_0^{+\infty}\frac{1-2\cos 2t+\cos^2 2t}{t^3}dt\\
&=&-\frac{n^2}{8}\int_0^{+\infty}(1-2\cos 2t+\cos^2 2t)d\left(\frac{1}{t^2}\right)\\
&=&\frac{n^2}{2}\int_0^{+\infty}\frac{\sin 2t-\sin 2t \cos 2t}{t^2}dt\\
&=&-\frac{n^2}{2}\int_0^{+\infty}(\sin 2t - \sin 2t \cos 2t)d\left(\frac{1}{t}\right)\\
&=&n^2\int_0^{+\infty}\frac{\cos 2t - \cos 4t}{t}dt\\
&=&n^2\ln 2（Frullani积分）
\end{eqnarray*}$$
$$\begin{eqnarray*}
I_2 \le C\int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{\sin^4nt}{t}dt \le \frac{\pi}{2}Cn
\end{eqnarray*}$$
　　所以，当$n$比较大时显然有
$$n^2\ln 2+\frac{\pi}{2}Cn < \frac{\pi^2n^2}{4}$$

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解法2：
　　当
$$\epsilon \in \left(0,\frac{\pi}{2}\right)$$
　　时有
$$\begin{eqnarray*}
I&=&\int_0^{\epsilon}t\left(\frac{\sin nt}{\sin t}\right)^4dt+\int_{\epsilon}^{\frac{\pi}{2}}t\left(\frac{\sin nt}{\sin t}\right)^4dt\\
&\le& n^4\int_0^{\epsilon}tdt+\left(\frac{\pi}{2}\right)^4\int_{\epsilon}^{\frac{\pi}{2}}\frac{1}{t^3}dt\\
&=&\frac{\epsilon^2}{2}n^4+\frac{\pi^4}{2^5\epsilon^2}-\frac{\pi^2}{2^3}
\end{eqnarray*}$$
　　将$n$看作常数，$\epsilon$看作变量
　　要使上面的不等式
$$\forall \epsilon \in \left(0,\frac{\pi}{2}\right)$$
　　恒成立，只要原积分$I$小于右端的最小值
　　根据均值不等式
$$\frac{\epsilon^2}{2}n^4+\frac{\pi^4}{2^5\epsilon^2}-\frac{\pi^2}{2^3} \ge \frac{n^2\pi^2}{4}-\frac{\pi^2}{8}$$
　　当且仅当
$$\epsilon=\frac{\pi}{2n}$$
　　时取最小值
　　这样，我们得到了一个比题目中的不等式更强的结果
$$I \le \frac{n^2\pi^2}{4}-\frac{\pi^2}{8}$$
　　那么，题目中的不等式自然成立。