裴礼文 一元积分学 319页 练习4.1.6 解答

castelu

练习4.1.6：

　　设$f_0(x)$在$[0,1]$上可积，$f_0(x)>0$。
$$f_n(x)=\sqrt{\int_0^x f_{n-1}(x)dx}, n=1,2,\cdots$$
　　试求$\lim\limits_{n \to \infty}f_n(x)$（$x \in [0,1]$）

---

解：
　　设
$$0 < \delta <1$$
　　因为$f_0(x)$在$[0,1]$可积且$f_0(x)>0$
　　所以
$$f_1(x)=\sqrt{\int_0^x f_0(t)dt}$$
　　是区间$[0,1]$上的连续函数
　　故存在正数$m$，$M$，使得
$$f_1(x) \le M（x \in [0,1]）$$
$$f_1(x) \ge m（x \in [\delta,1]）$$
　　对任一自然数$n$，用数学归纳法可以证明如下不等式
$$m^{\frac{1}{2^n}}a_n(x-\delta)^{1-\frac{1}{2^n}} \le f_{n+1}(x) \le M^{\frac{1}{2^n}}a_nx^{1-\frac{1}{2^n}}$$
　　其中
$$a_n=\left(\frac{2}{2^2-1}\right)^{\frac{1}{2^{n-1}}}\left(\frac{2^2}{2^3-1}\right)^{\frac{1}{2^{n-2}}}\cdots\left(\frac{2^{n-1}}{2^n-1}\right)^{\frac{1}{2}}$$
　　当$n=1$时，有
$$f_2(x)=\sqrt{\int_0^x f_1(t)dt} \le M^{\frac{1}{2}}x^{1-\frac{1}{2}}=M^{\frac{1}{2}}a_1x^{1-\frac{1}{2}}$$
　　设$n-1$时结论成立，则对$n$有
$$\begin{eqnarray*}
f_{n+1}(x)&=&\sqrt{\int_0^x f_n(t)dt} \le M^{\frac{1}{2^n}}a_{n-1}^{\frac{1}{2}}\sqrt{\int_0^x t^{1-\frac{1}{2^n-1}}dt}\\
&=&M^{\frac{1}{2^n}}a_{n-1}^{\frac{1}{2}}\frac{2^{\frac{n-1}{2}}}{(2^n-1)^{\frac{1}{2}}}=M^{\frac{1}{2^n}}a_nx^{1-\frac{1}{2^n}}
\end{eqnarray*}$$
　　故右边的不等式对一切自然数$n$都成立，同理可证左边的不等式亦真。
　　因为
$$\ln a_n=\frac{1}{2^{n-1}}\ln\frac{2}{2^2-1}+\frac{1}{2^{n-2}}\ln\frac{2^2}{2^3-1}+\cdots+\frac{1}{2}\ln\frac{2^{n-1}}{2^n-1}（n=1,2,\cdots）$$
　　所以根据$Toeplitz$定理（容易验证此时条件全部满足）有
$$\lim\limits_{n \to \infty}\ln a_n=\lim\limits_{n \to \infty}\ln\frac{1}{2-\frac{1}{2^{n-1}}}=\ln\frac{1}{2}$$
　　于是
$$\lim\limits_{n \to \infty}M^{\frac{1}{2^n}}a_nx^{1-\frac{1}{2^n}}=\frac{x}{2}, \lim\limits_{n \to \infty}m^{\frac{1}{2^n}}a_n(x-\delta)^{1-\frac{1}{2^n}}=\frac{x-\delta}{2}$$
　　由$\delta$的任意性即知对任一切$x \in (0,1]$有
$$\lim\limits_{n \to +\infty}f_{n+1}(x)=\frac{x}{2}$$
　　又因$f_{n+1}(0)=0(n=1,2,\cdots)$所以对一切$x \in [0,1]$有
$$\lim\limits_{n \to +\infty}f_{n+1}(x)=\frac{x}{2}$$