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练习2.3.6:
$f(x)$是闭区间$[a,b]$上的函数,满足条件:对每一点$x_0 \in [a,b]$,任取$\epsilon>0$,有$\delta>0$,对于一切$x \in [a,b] \cap (x_0-\delta,x_0+\delta)$有
$$f(x)<f(x_0)+\epsilon$$
成立。
(1)证明$f(x)$有最大值;
(2)举例说明$f(x)$未必有下界。
解:
(1)取
$$\epsilon=1$$
那么
$$\bigcup\limits_{x \in [a,b]}{(x,\delta_x)}$$
是$[a,b]$的一个开覆盖
由有限覆盖定理知,存在有限开覆盖
$$\bigcup\limits_{k=1}^{n}{(x_k,\delta_{x_k})}$$
使
$$f(x) < \max\limits_{1 \le k \le n}f(x_k)+1$$
即$f(x)$在$[a,b]$上存在上界,从而存在上确界$M$
故存在$\left\{x_n \right\}$,使得
$$\lim\limits_{n \to \infty}f(x_n)=M$$
在$\left\{x_n \right\}$中存在收敛子序列$\left\{x_{n_k} \right\}$有
$$\lim\limits_{k \to \infty} x_{n_k}=x_0$$
且
$$\lim\limits_{k \to \infty} f(x_{n_k})=M$$
显然
$$x_0 \in [a,b]$$
下证
$$f(x_0)=M$$
显然
$$f(x_0) \le M$$
再由
$$f(x)<f(x_0)+\epsilon$$
知
$$\forall \epsilon=\frac{1}{m},\exists \left\{x_{n_k} \right\}的子序列\left\{x_{n_{k_m}} \right\}$$
使得
$$M-\frac{1}{m} < f(x_{n_{k_m}}) < f(x_0) + \frac{1}{m}$$
由$m$的任意性有
$$M \le f(x_0)$$
所以
$$f(x_0)=M$$
即$f(x)$有最大值$M$。
(2)令
$$f(x)=\left\{ \begin{array}{l}
0,x=0\\
-\frac{1}{x}, 0 < x \le 1
\end{array} \right.$$
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