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[已解决] 裴礼文 一元函数的连续性 174页 练习2.3.6 解答

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发表于 2016-4-3 22:03:09 | 只看该作者 回帖奖励 |倒序浏览 |阅读模式
练习2.3.6:

  $f(x)$是闭区间$[a,b]$上的函数,满足条件:对每一点$x_0 \in [a,b]$,任取$\epsilon>0$,有$\delta>0$,对于一切$x \in [a,b] \cap (x_0-\delta,x_0+\delta)$有
$$f(x)<f(x_0)+\epsilon$$
  成立。
(1)证明$f(x)$有最大值;
(2)举例说明$f(x)$未必有下界。



解:

(1)取
$$\epsilon=1$$
  那么
$$\bigcup\limits_{x \in [a,b]}{(x,\delta_x)}$$
  是$[a,b]$的一个开覆盖
  由有限覆盖定理知,存在有限开覆盖
$$\bigcup\limits_{k=1}^{n}{(x_k,\delta_{x_k})}$$
  使
$$f(x) < \max\limits_{1 \le k \le n}f(x_k)+1$$
  即$f(x)$在$[a,b]$上存在上界,从而存在上确界$M$
  故存在$\left\{x_n \right\}$,使得
$$\lim\limits_{n \to \infty}f(x_n)=M$$
  在$\left\{x_n \right\}$中存在收敛子序列$\left\{x_{n_k} \right\}$有
$$\lim\limits_{k \to \infty} x_{n_k}=x_0$$
  且
$$\lim\limits_{k \to \infty} f(x_{n_k})=M$$
  显然
$$x_0 \in [a,b]$$
  下证
$$f(x_0)=M$$
  显然
$$f(x_0) \le M$$
  再由
$$f(x)<f(x_0)+\epsilon$$
  知
$$\forall \epsilon=\frac{1}{m},\exists \left\{x_{n_k} \right\}的子序列\left\{x_{n_{k_m}} \right\}$$
  使得
$$M-\frac{1}{m} < f(x_{n_{k_m}}) < f(x_0) + \frac{1}{m}$$
  由$m$的任意性有
$$M \le f(x_0)$$
  所以
$$f(x_0)=M$$
  即$f(x)$有最大值$M$。
(2)令
$$f(x)=\left\{ \begin{array}{l}
0,x=0\\
-\frac{1}{x}, 0 < x \le 1
\end{array} \right.$$
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