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[已解决] 挺有趣的一道题

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楼主
发表于 2014-5-14 12:51:34 | 只看该作者 回帖奖励 |倒序浏览 |阅读模式
本帖最后由 龙的腾飞 于 2014-5-14 12:59 编辑

证明:同一平面内的不全在同一直线的n(n≥2)个点,必定存在一条直线只经过其中两个点.
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沙发
发表于 2014-5-14 13:56:12 | 只看该作者
从n个不共线的点中找到其中的任意2个点作直线L
L外必有其他的点,记L外某1点a到L的距离为p(a,L)
因为给的点只有有限个,所以过其他任意2点也只能作有限条直线
仅有有限个距离p(a,L)
从而有通过某2个点的直线L0以及L0外的某个定点a0
使得距离p(a0,L0)最小,这个L0就是所求直线
下面来证明

反证法:
假设L0不是要找的直线,那么至少有3个不同的定点a1、a2、a3在直线L0上
过a0作L0的垂线,垂足为h
此时,3个定点a1、a2、a3中至少有2个点在垂足h的同一侧(包含与h重合的情况)
不妨设a1和a2在h的同侧,且a0位于h和a1之间
过a0和a2作直线L1,显然点a1不在直线L1上
并且p(a1,L1)<=p(h,L1)<=p(a0,L0)
因为已知p(a0,L0)是最小的,所以矛盾
这就证明了直线L0恰好只通过2个给定的点
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板凳
发表于 2014-5-14 13:57:36 | 只看该作者
   设平面上一点P和由平面上的点构成的任意一条直线L之间的距离为d(P,L)。则存在一个点A和直线L0,使得d取最小(直线的数目和点的数目是有限的).
   证明: 假设L0上有两个以上的点,且B、C、D为L上的3个点,过A做AE⊥L0于E;B、C、D三点当中至少有两个在E点的同侧,不妨令B、C在E点的同侧,且B点更靠近E。
   明显d(B,AC)<d(P,L0);矛盾,因此直线L上的点数目只有2个。
  得证.
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