看战巡“作图”一题的感想

高斯门徒

设AM’与圆相切于M’，M、M’在弦DF同侧，BM’交圆于G’
则△BCG’∽ △BM’D，△AM’D∽△AFM’， △BM’F∽△BEG’
∴BC/BM’=CG’/M’D，AM’/AF=M’D/FM’，AD/AM’=M’D/FM’，BM’/BE=M’F/EG’
以上四式相乘，得：BC/BE*AD/AF=CG’/FM’*M’D/EG’
两边同乘以EF/CD，得：BC/CD*DA/AF*FE/EB=CG’/G’E*EF/FM’*M’D/DC
对△BDF与直线CEA，使用梅涅劳斯定理，得
BC/CD*DA/AF*FE/EB=1
∴CG’/G’E*EF/FM’*M’D/DC=1
由塞瓦定理的逆定理，知DE，CF，G’M’交于一点，此点为H
直线G’M’过B，H两点，与直线BH重合，所以M’即是M
∴AM与圆相切
同理可证AG与圆相切